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6.1.2　向量的加法
【学习目标】
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．
2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．
3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义？
(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
二、课前小测
1．下列各式不一定成立的是(　　)
A．a＋b＝b＋a　　 B．0＋a＝a
C.＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2.＋＋等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
3．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________.
4．小船以10 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
三、新知探究
1．向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.
2．向量求和的法则
三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作 ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.
思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
[提示]　不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．
3．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
四、题型突破
题型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
[探究问题]
1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？
[提示]　(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．
(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＋＋＋…＋的运算结果是什么？
[提示]　将三角形法则进行推广可知＋＋＋…＋＝.
【例1】　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________.
(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b；
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
　甲　　　　　　　乙
[思路探究]　(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．
(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．
【多维探究】
1．在本例(1)条件下，求＋.
2．在本例(1)图形中求作向量＋＋.
【反思感悟】
1．向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和向量仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．
提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】　(1)化简：
①＋；
②＋＋；
③＋＋＋＋.
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
[思路探究]　根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
【反思感悟】
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
【跟踪训练】
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
题型三　向量加法的实际应用
【例3】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
【反思感悟】
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【跟踪训练】
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
五、达标检测
1．判断正误
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　　)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　)
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　)
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.(　　)
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是(　　)
A.＋＋　　　　 B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
3．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
六、本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.
参考答案
课前小测
1．答案：D
解析：A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．
2．答案：C
解析：＋＋＝＋＋＝.
3．答案：
解析：由平行四边形法则可知＋＝.
4．答案：20
解析：根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为＝20(km/h)．
题型突破
【例1】 (1)答案：①　②　③
解析：如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝.
②＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
(2) 解：①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
【多维探究】
1．解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，
所以＋＝.
2．解：过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，
则＋＝，作＝，连接，
则＝＋＋，如图所示．
【例2】解：(1)①＋＝＋＝；
②＋＋＝＋＋＝0；
③＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.
(2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
【跟踪训练】
1．答案：D
解析：原式＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝.
【例3】解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N).
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
【跟踪训练】
2．解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
达标检测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．答案：C
解析：在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.
3．答案：8 km　东北方向　
解析：如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝.
所以|a＋b|＝||
＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．
4．解：(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由题图可知，＝＝＝，
∴＋＝＋＝.

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