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6.1.3　向量的减法
【学习目标】
1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．
2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) a的相反向量是什么？
(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？
二、课前小测
1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)
A．m＝n　　　　　　 B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　)
A.－＝
B.－＝
C.－＝
D.－＝
3．化简－＋＋的结果等于(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
4．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________.
三、新知探究
1．相反向量
(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．
(2)性质：①－(－a)＝a.
②对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
2．向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|
[提示]　当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．
四、题型突破
题型一 向量减法的几何意义
【例1】　(1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[思路探究]　(1)利用向量减法和加法的几何意义，将向，，转化；
(2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值．
【反思感悟】
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
【跟踪训练】
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
题型二 向量减法的运算及简单应用
【例2】　(1)如图所示，
①用a，b表示；
②用b，c表示.
(2)化简下列各向量的表达式：
①＋－；
②(－)－(－)；
③(＋＋)－(－－)．
[思路探究]　按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．
【反思感悟】
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
3．与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．
【跟踪训练】
2．化简下列向量表达式：
(1)－＋－；
(2)(－)＋(－)．
题型三　向量减法几何意义的应用
[探究问题]
1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a－b放在这个图形中？
[提示]　如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则a＋b＝，a－b＝.
2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
[提示]　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．
(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.
综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【例3】　(1)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　)
A．菱形　　　　　　　　 B．矩形
C．正方形 D．不确定
(2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
[思路探究]　(1)先由＝判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|－|＝|－|变形，进一步判断此四边形的形状．
(2)由|||－|||≤|－|≤||＋||求范围．
【多维探究】
1．将本例(2)的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围．
2．在本例(2)条件不变的条件下，求：|＋|的取值范围．
3．本例(2)中条件“||＝9”改为“||＝9”，求||的取值范围．
【反思感悟】
1．用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量．
(2)化归为向量问题，进行向量运算．
(3)将向量问题还原为平面几何问题．
2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
五、达标检测
1．判断正误
(1)0－a＝－a；(　　)
(2)－(－a)＝a；(　　)
(3)a＋(－a)＝0；(　　)
(4)a＋0＝a；(　　)
(5)a－b＝a＋(－b)；(　　)
(6)a＋(－a)＝0.(　　)
2．化简－＋－＝________.
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
4．若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
六、本课小结
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.
参考答案
课前小测
1．答案：A
解析：由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.
2．答案：C
解析：如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，－＝－－(＋)＝－2≠，故选C.
3．答案：B
解析：原式＝(＋)＋(＋)＝＋0=.
4．答案：a＋b　b－a
解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.
题型突破
题型一 向量减法的几何意义
【例1】
(1) 答案：A
解析：＝－＝(＋)－＝a＋c－b.
(2)解：法一：(几何意义法)
如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：(定义法)
如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.
图①　　　　　图②
【跟踪训练】
1．解：法一：先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
图①　　　　　　图②
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c.
【例2】解：(1)由题意知＝a，＝b，＝c.
①＝－＝－－＝－a－b.
②＝－＝－(＋)＝－b－c.
(2)①＋－＝－＝.
②(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0.
③(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
(2)②法一：(加法法则)
原式＝－－＋
＝(＋)－(＋)
＝－＝0；
法二：减法法则(利用相反向量)
原式＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0；
法三：减法法则(创造同一起点)
原式＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
【跟踪训练】
2．解：(1)－＋－＝＋－＝－＝.
(2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.
【例3】(1)答案：B
解析：∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵|－|＝|－|，∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．
(2)解：∵|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
【多维探究】
1．解：因为＝－，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3；
当与反向时，||＝13.
所以||的取值范围是[3,13]．
2．解：由|||－|||≤|＋|≤||＋||，
∵||＝6，||＝9，
∴3≤|＋|≤15.
当与同向时，|＋|＝15；
当与反向时，|＋|＝3.
3．解：＝－，又||＝||，
由|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤||≤15.
达标检测
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×
2．答案：0
解析：－＋－
＝(＋)＋(－)
＝＋
＝0.
3．答案：0　2
解析：因为a，b为相反向量，∴a＋b＝0，
即|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a－b|＝|2a|＝2.
4．解：如图，
设＝a，＝b，则a－b＝，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，
所以||＝||＝||，
所以△OAB是等边三角形，
所以∠BOA＝60°.
因为＝a＋b，且在菱形OACB中
对角线OC平分∠BOA.
所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.

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