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6.1.5平面向量的概念及线性运算导学案
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义． 1.平面向量的有关概念． 2.平面向量的线性运算． 3.共线向量定理的应用． 1.数学抽象． 2.直观想象． 3.数学运算．
二、本节重难点
1.平面向量的有关概念．
2.平面向量的线性运算．
3.共线向量定理的应用
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
3．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)
A.a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
4．化简：
(1)(＋)＋＋＝________．
(2)＋＋－＝________．
5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
四、考点梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λ a与 a的方向相反； 当λ＝0时， λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．三点共线的等价转化
A，P，B三点共线 ＝λ(λ≠0) ＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R) ＝x＋y.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．
常见误区
1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．
2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．
五、典例剖析
考点一　平面向量的有关概念
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
2．(多选)下列命题中不正确的是(　　)
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线
C．若非零向量a与b共线，则a＝b
D．四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝||
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
[方法总结]
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
考点二　平面向量的线性运算
[例1] (1)(2020·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)
A.－ B．2－2
C.－ D．2－2
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________．
[方法总结]
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
[跟踪训练]
(2020·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B． C．－ D．－
考点三　平面向量共线定理的应用
[例2] 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【变式探究】
1．(变条件)若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，若A，B，D三点共线，则m＝________．
2．(变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k＝________．
[方法总结]
[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
[跟踪训练]
1．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
六、随堂训练
1．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
2．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
3．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．
4．已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
5．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
七、本课小结
本节知识主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．答案：AB
解析：C错误，例如m＝0；
D错误，例如a＝0；
A，B是数乘运算的分配律，正确．
故答案为AB.
3．答案：D
解析：＝＝(－)＝(b－a)＝－a＋b.
4．答案：(1)　(2)0
解析：(1)原式＝＋＋＋＝.
(2)原式＝＋＝0.
5．答案：矩形
解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
典例剖析
1．答案：C
解析：当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；
当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；
|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；
因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
2．答案：ABC
解析：对于A，相等向量的始点相同，则终点也一定相同，所以A不正确；
对于B，向量与共线，只能说明，所在直线平行或在同一条直线上，所以B不正确；
对于C，非零向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但a与b不一定相等，所以C不正确；
对于D，因为四边形ABCD是平行四边形，所以||＝||，所以D正确．
故选ABC.
3．答案：C
解析：因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，
所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
[例1] 答案：(1)D　(2)　
解析：(1)连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以＝2＝2(－)＝2－2，故选D.
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，
所以λ＝，μ＝.
[跟踪训练]
答案：A
解析：由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝，故选A.
[例2] 解：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【变式探究】
1．答案：7
解析：＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即＝4a＋(m－3)b.
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
所以解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
2．答案：－1
解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
所以所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时两向量反向共线．
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：由＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)共线，
得a＋mb＝λ(na＋b)，即
所以mn－1＝0.
2．答案：B
解析：由＝λ＋得－＝λ，＝λ.
则，为共线向量，
又，有一个公共点P，
所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
随堂训练
1．答案：AB
解析：对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；
对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量， 故B正确；
对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；
对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．
故选AB.
2．答案：2
解析：因为||＝||＝|－|＝||＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|＋|＝2.
3．答案：－4
解析：因为M，N，P三点共线，
所以存在实数k使得＝k，
所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，
又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
可得解得λ＝－4.
4．答案：b－a　－a－b
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
5．解：＝(＋)＝a＋b；
＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.

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