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6.2.3平面向量的坐标及其加减运算
【学习目标】
1.掌握向量的坐标表示．
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．
3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 平面向量的坐标是什么？
(2) 如何由a，b的坐标求a＋b，a－b的坐标？
二、课前小测
1．已知a＝(3，5)，b＝(－3，2)，则a＋b＝(　　)
A．(8，－1)　　　　　 B．(0，7)
C．(7，0) D．(－1，8)
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则a－b等于(　　)
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，0) D．(4，3)
3．已知点A(1，－2)，点B(4，0)，则向量＝________.
4．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
三、新知探究
1．平面向量的坐标表示
(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi+yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).此式叫做向量a的坐标表示.
(2)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
[知识解读]　点的坐标与向量坐标的区别和联系
点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关.
联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标.
(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.即
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b
注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.
区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2).
(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y).
2．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝(λx1，λy1)
向量 坐标 公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
四、题型突破
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
【反思感悟】
求向量坐标的三个步骤：
【跟踪训练】
1．已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为(　　)
A．(1，1)　　 B．(－1，－1)
C．(，)　　 D．(－，－)
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】　(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)　　 B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
【反思感悟】
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
【跟踪训练】
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋，－的坐标．
题型三　平面向量坐标运算的应用
【例3】　已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　)
A.　　　　 B.
C．(4，5) D．(1，3)
【反思感悟】
在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解．
【跟踪训练】
3．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　)
A．　　 B．
C．(－1，)　　 D．
五、达标检测
1．判断正误
(1)相等向量的坐标相同．(　　)
(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标．(　　)
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量．(　　)
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．(　　)
2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则＋的坐标是(　　)
A．(1，－2)　　　　　 B．(7，6)
C．(5，0) D．(11，8)
3．已知点A(－1，－2)，B(4，3)，则的坐标为(　　)
A．(3，1) B．(－5，－5)
C．(5，5) D．(－5，5)
4．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B的坐标为(　　)
A．(－5，5) B．(5，－5)
C．(－1，1) D．(1，1)
5．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量，的坐标.(以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系)
六、本课小结
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．如图所示．
2．向量的坐标和其终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同．
3．在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．
参考答案
课前小测
1．答案：B
解析：a＋b＝(3，5)＋(－3，2)＝(3－3，5＋2)＝(0，7)．
2．答案：A
3．答案：(3，2)
4．答案：(，)
解析：由题意知
a＝2cos 45°i＋2sin 45°j
＝i＋j
＝(，)．
题型突破
【例1】
解：(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°. 又OC＝AB＝3，
∴C，
∴＝＝，即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋
＝(2，2)＋
∴点B的坐标为
【跟踪训练】
1．解析：由题意，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1，1).
【例2】(1)答案：A
解析：
法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A.
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
【跟踪训练】
2．解：∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)，
－＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10).
【例3】答案：C
解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝(m，n－2)，解得即点D(4,5)，
故选C.
【跟踪训练】
3．解析：因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.
达标检测
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．答案：B
解析：因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以＋＝(4,2)＋(3,4)＝(7,6)．
3．答案：C
解析：＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)，故选C.
4．答案：B
解析：＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．
5．解析：建立如图所示的平面直角坐标系.
因为||＝1，∠AOB＝150°，
所以B(－cos30°，sin30°)，
所以B(－，).
因为||＝3，∠BOC＝90°，
所以C(－3sin30°，－3cos30°)，
即C(－，－).
所以＝(－，－)－(－，)＝(，－)，
易知A(2,0)，所以＝(－，)－(2,0)＝(－－2，).

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