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6.2.3平面向量基本定理及坐标导学案
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量基本定理及其应用． 2．平面向量的坐标运算． 3．平面向量共线的坐标表示． 1．数学运算． 2．逻辑推理．
二、本节重难点
1．平面向量基本定理及其应用．
2．平面向量的坐标运算．
3．平面向量共线的坐标表示．
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
3．(易错题)(多选)已知向量a，b是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是(　　)
A．若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线
B．若a与b共线，则存在实数λ，使得b＝λa
C．若a与b不共线，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb
D．若对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线
4．已知 ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________．
四、考点梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b x1y2－x2y1＝0．
[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．向量共线的充要条件的两种形式
(1)a∥b b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
常见误区
1．平面向量的基底中一定不含零向量．
2．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的坐标是指向量的终点坐标减去起点坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．
五、典例剖析
考点一　平面向量基本定理的应用
[例1] (1)(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)
A.＋　　　　 B．－
C.＋ D．＋
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．
[方法总结]
运算遵法则　基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[跟踪训练]
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
2．已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
考点二　平面向量的坐标运算
1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
2．已知＝(1，－1)，C(0，1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
3．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
[方法总结]
向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．　
考点三　平面向量共线的坐标表示
[例2] (1)(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是(　　)
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
(2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B．
C. D．
[方法总结]
(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b a＝λb(b≠0)；②a∥b x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
[跟踪训练]
1．(多选)已知a＝(1，2)，b＝(4，k)，若(a＋2b)∥(3a－b)，则下列说法正确的是(　　)
A．k＝8 B．|b|＝4
C．a·b＝12 D．a∥b
2．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
3．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
六、随堂训练
1．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．2 B． C．3 D．
2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，λ)，若(a＋2b)∥(2a－b)，则实数λ＝________．
3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
4．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．
5．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
七、本课小结
平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．答案：A
解析：
方法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A.
3．答案：ACD
解析：对于A，若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线，所以A正确．
对于B，若a与b共线，则不一定存在实数λ，使得b＝λa，如b＝(1，0)，a＝(0，0)时不满足，所以B错误．
对于C，根据平面向量的基本定理知，a与b作为基底，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，所以C正确．
对于D，根据平面向量的基本定理知，对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线，所以D正确．
故选ACD.
4．答案：(1，5)
解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
5．答案：－
解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，
所以＝－.
典例剖析
[例1] 答案：(1)AC　(2)
解析：(1)
如图所示，设BC的中点为E，
则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋×＝＋.
故选AC.
(2)由题图可设＝x(x＞0)，则＝x(＋)＝x＝＋x.
因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，
所以＝.
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：
方法一：
如图所示，取BC的中点F，连接AF，
因为BC＝2AD，所以AD＝CF，
又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以＝.
因为DE＝EC，所以＝＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋＝a＋b，
故选D.
方法二：
如图，连接BD，因为DE＝EC.所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋ ＋)＝＋＝a＋b，故选D.
2．答案：(－2，0)
解析：依题意，设＝λ(0<λ<1)，
由＋＋＝0，知＝－(＋)，
所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，
m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．
考点二　平面向量的坐标运算
1．答案：A
解析：3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
2．答案：D
解析：设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
3．答案：
解析：
方法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1)．
因为＝λ＋μ＝，所以解得所以λ＋μ＝.
方法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，所以解得所以λ＋μ＝.
考点三　平面向量共线的坐标表示
[例2] 答案：　(1)ABC　(2)A
解析：(1)由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A错误．
因为a＋b＝(x－3，3＋x)，又(a＋b)∥a，所以3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误．
由已知，得ma＋b＝(mx－3，3m＋x)．又(ma＋b)∥a，所以x(3m＋x)－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C错误．
由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确．
故选ABC.
(2)＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
[跟踪训练]
1．答案：ABD
解析：因为a＝(1，2)，b＝(4，k)，
所以a＋2b＝(1，2)＋(8，2k)＝(9，2＋2k)，3a－b＝(3，6)－(4，k)＝(－1，6－k)，
因为(a＋2b)∥(3a－b)，所以9(6－k)＝(－1)×(2＋2k)，则k＝8，A正确；
|b|＝＝4，B正确；
a·b＝1×4＋2×8＝20，C错误；
由于1×8＝2×4，a∥b，故D正确，
所以选ABD.
2．答案：(2，4)
解析：因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
所以解得故点D的坐标为(2，4)．
3．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)方法一：因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
方法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，
所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.
随堂检测
1．答案：B
解析：如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，
易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，
于是＝＝，
因此＝＋＝＋，
因为＝x＋y，所以x＝，y＝1，故x＋y＝.
2．答案：－
解析：a＋2b＝(4，2λ－1)，2a－b＝(3，－2－λ)，
因为(a＋2b)∥(2a－b)，
所以4(－2－λ)＝3(2λ－1)，解得λ＝－.
3．答案：　－
解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得所以
4．答案：－
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，
得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，
所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.
又点P在直线x－2y＝0上，
故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
5．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．

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