资源简介

6.3.1　向量在平面几何中的应用
【学习目标】
1. 掌握用向量方法解决简单的几何问题的方法．
2．体会向量在解决数学问题中的作用．
3．培养运用向量知识解决实际问题的能力．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 用向量方法可以解决哪些平面几何问题？
(2) 用向量方法解决平面几何问题有哪“三部曲”？
二、课前小测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)向量，的夹角就是直线AB，CD的夹角．(　　)
2．做一做
(1)在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
(2)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
三、新知探究
知识点一 向量在几何中的应用
(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．
(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点二 平面几何中的向量方法
(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理： a∥b a＝λb(λ∈R，b≠0) x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件： a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝＝(a＝(x，y))
或AB＝||＝(A(x1，y1)，B(x2，y2))．
四、题型突破
题型一 向量在平面几何证明问题中的应用
[例1]　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC．
【反思感悟】
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找相应关系；
④把几何问题向量化．
【跟踪训练】
1. 已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
题型二 向量在平面几何计算问题中的应用
[例2]　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．
【反思感悟】
用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝.
【跟踪训练】
2. 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
五、达标检测
1．已知|a|＝2，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)
A．10 B．
C．2 D．22
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)(x≠0)，若⊥，则满足条件的x，y的关系式是________．
4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
5．如图，在 OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA．
六、本课小结
1、利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2、向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．答案：(1)C　(2)1∶2
题型突破
[例1] 证明：
证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，
故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2.
∴＝＋＝e1＋e2，
＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.
而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0，
∴⊥，即AC⊥BC．
证法二：如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(－1,1)，＝(1,1)．
∴·＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
【跟踪训练】
1. 证明：设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝(a＋b)－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，
所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
[例2] 解：
(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，
∴D.
∴||＝ ，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB．
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ，
即(x，－m)＝λ.
则故λ＝，x＝，∴F，
∴||＝ ，即AF＝ .
【跟踪训练】
2. 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝.
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
达标检测
1．答案：C
解析：以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为a＋b与a－b.
|a＋b|＝ ＝ ＝
＝＝2，|a－b|＝＝＝ ＝2.
2．答案：A
解析：由题意得＝(3,3)，＝(2,2)，∴∥，||≠||.故选A．
3．答案：y2＝8x(x≠0)
解析：∵＝＝，＝＝，
∴·＝2x－＝0，
∴y2＝8x(x≠0)．
4．答案：[1,4]
解析：
解法一：设＝＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ，＝(1－λ)＝(1－λ)，则·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·[＋(1－λ)]＝·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)··.
∵·＝0，∴·＝4－3λ.
∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4，即·的取值范围是[1,4]．
解法二：如图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AB＝2，AD＝1，所以A(0,0)，B(2，0)，D(0,1)，C(2，1)．设＝＝t∈[0,1]，则||＝t，||＝2t.则M(2，t)，N(2－2t,1)，故·＝4－4t＋t＝4－3t，
又t∈[0,1]，所以(·)max＝4－3×0＝4，
(·)min＝4－3×1＝1.故·的取值范围是[1,4]．
5．证明：∵O，E，D三点共线，∴向量与向量共线．
则存在实数λ1，使得＝λ1.
而＝＋＝＋，则＝λ1＋.
又∵A，E，B三点共线，
∴与共线，则存在实数λ2，使＝λ2＝λ2(－)．
∴＝λ2－λ2.而＋＝，
∴＋λ2－λ2＝λ1＋.
即(1－λ2)＋λ2＝λ1＋.
∵与不共线，∴∴λ2＝.
∴＝，即BE＝BA．

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