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第五章 概率复习
题型突破
题型一 事件间的运算
【例1】如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【反思感悟】
事件间的运算包含互斥事件的概率加法、对立事件的概率加法，要时刻结合Venn图用集合的思想理解．其中不能同时发生的是互斥事件，反映在集合上就是两事件的交集为空．在互斥的基础上必有一个发生的是对立事件，互为对立的两个事件概率之和为1.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的关键．
其中互斥事件的概率加法公式可以推广到有限个事件，即如果事件A1，A2，…，An是两两互斥关系，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
题型二 古典概型
【例2】在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄色、3个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
(1)求摸出的3个球都为白球的概率；
(2)求摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率；
(3)假定一天中有100人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱．
【反思感悟】
(1)解决古典概型的关键问题是分析样本点总数和某事件所包含的样本点数，通常用列举法或树状图表达．
(2)当含有“至多”“至少”“不含”等词语时，从正面突破比较困难时，可以考虑反面，即对立事件．
题型三 事件的相互独立性
【例3】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
【反思感悟】
判断事件是否相互独立的方法有：
(1)定义法：事件A，B相互独立 P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
题型四 频率与概率
【例4】下表分别表示从甲、乙两厂随机抽取的某批乒乓球的质量检查情况．
甲厂抽取的乒乓球的质量检查情况
抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
优等品数m 45 92 194 470 954 1902
优等品频率
乙厂抽取的乒乓球的质量检查情况
抽取球数n 70 130 310 700 1500 2000
优等品数m 60 116 282 639 1339 1806
优等品频率
(1)分别计算两个表中乒乓球优等品的频率(结果保留到小数点后第三位)；
(2)从甲、乙两厂分别抽取一个乒乓球，质检结果为优等品的概率分别是多少？
(3)若甲、乙两厂的乒乓球价格相同，你打算从哪个厂家购货？
【反思感悟】
依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率．
频率的计算公式为fn(A)＝，其中nA是事件A出现的频数，n为重复试验次数．
达标检测
1．（天津河西高一期中）甲、乙两个元件构成一串联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为( )
A．E∪F B．E∩F C．E∩F D．E∪F
2．（黑龙江哈尔滨师大附中高二期中）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为( )
A． B． C． D．
3．（广西桂梧高中期中）在抛掷一颗骰子的实验中，事件A表示“出现的点数不大于3”，事件B表示“出现的点数小于5”，则事件（B的对立事件）发生的概率为( )
A． B． C． D．
4．（上海松江高二期末）从分别标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是___________．
参考答案
题型突破
【例1】解：(1)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(1)，知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
因为P(B2)>P(B1)，所以乙应选择路径L2.
【例2】解：把3个黄色乒乓球分别标记为A，B，C，3个白色乒乓球分别标记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个球的样本空间Ω＝{ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，BC1，BC2，BC3，A12，A13，A23，B12，B13，B23，C12，C13，C23,123}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．
(1)设事件E＝{摸出的3个球都为白球}，则事件E包含的样本点有1个，即摸出123，则P(E)＝＝0.05.
(2)设事件F＝{摸出的3个球为2个黄球1个白球}，则事件F包含的样本点有9个，P(F)＝＝0.45.
(3)设事件G＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球都为白球或摸出的3个球都为黄球}，则事件G包含的样本点有2个，故P(G)＝＝0.1.
假定一天中有100人参与摸球游戏，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件“摊主送给摸球者5元钱”发生10次，事件“摸球者付给摊主1元钱”发生90次，故可估计该摊主一天可赚90×1－10×5＝40(元)，每月可赚1200元．
【例3】解： 设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，
则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.
(1)解法一：该选手被淘汰的概率为
P＝P(1∪A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
解法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)·P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.
(2)解法一：所求概率P＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.
解法二：所求概率P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.
【例4】解：(1)表中甲厂优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951；
表中乙厂优等品的频率依次为0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
(2)由(1)可知，抽取的球数不同，计算得到的频率值也不同，因为表中甲厂的频率在常数0.95的附近波动，所以从甲厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为0.95；因为表中乙厂的频率在常数0.90的附近波动，所以在乙厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为0.90.
(3)因为概率反映了一个事件发生的可能性的大小，P甲>P乙表示甲厂生产优等乒乓球的可能性更大，因此应选购甲厂生产的乒乓球．
达标检测
1．答案：A
解析：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，根据串联电路性质可知，甲元件故障或者乙元件故障都会造成电路故障，所以电路故障的事件为E∪F．故选A．
2．答案：A
解析：依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．由题意可知，样本空间为{aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC}，共9个样本点，其中田忌可以获胜的样本点为aB，ac，bc，共3种，则齐王的马获胜的概率．故选A．
3．答案：D
解析：抛掷一颗骰子共有6种基本事件，其中事件A包含掷出的点数为1，2，3，事件B包含掷出的点数为1，2，3，4，则包含掷出的点数为5，6，则事件A+B包含掷出的点数为1，2，3，5，6，共5个基本事件，故事件发生的概率为．故选D．
4．答案：
解析：若第一张卡片上的数字为奇数，第二张卡片上的数字为偶数，则，若第一张卡片上的数字为偶数，第二张卡片上的数字为奇数，则，故抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是．

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