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统计难点突破
【知识体系】
【难点突破】
难点突破一 抽样方法
例1 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中A类轿车有10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，求舒适型、标准型的轿车应分别抽取多少辆？
[方法技巧]
与分层随机抽样有关问题的常见类型及解题策略
(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．
(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．
(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．　
[强化训练]
1．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为______．
2．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本量为______．
难点突破二　频率分布直方图的应用
例2 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)：
区间界限 [122，126) [126，130) [130，134) [134，138) [138，142)
人数 5 8 10 22 33
区间界限 [142，146) [146，150) [150，154) [154，158]
人数 20 11 6 5
(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比．
[方法技巧]
与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．　
[强化训练]
对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图，如图所示：
分组 频数 频率
[10，15) 10 0.25
[15，20) 24 n
[20，25) m p
[25，30] 2 0.05
合计 M 1
(1)求表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数．
难点突破三　众数、中位数、平均数、方差与标准差的应用
例3 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：
甲 95 82 88 81 93 79 84 78
乙 83 75 80 80 90 85 92 95
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．
[方法技巧]
用样本的数字特征估计总体的数字特征应注意的问题
(1)众数、中位数、平均数的含义及求法．
(2)方差、标准差的计算．
(3)中位数用来描述分类变量的中心位置，众数体现了数据的最大集中点，平均数反映样本数据的总体水平．
(4)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小．　
[强化训练]
为了比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机抽取了该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)列表如下：
甲 26 28 31 29 31
乙 28 30 29 31 32
以下结论正确的是(　　)
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
A．①③　　　　　　　　　 B．①④
C．②③ D．②④
参考答案
例1 【解】　(1)设该厂本月生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2 000，则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
(2)设所抽取的样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以由(1)知＝，解得m＝2，所以在C类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
[强化训练]
1．解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x人，由分层随机抽样可得＝，解得x＝16.
答案：16
2．解析：因为分层随机抽样的抽样比应相等，所以＝，样本量＝＝32.
答案：32
例2 【解】　(1)列出样本频率分布表：
分组 频数 频率
[122，126) 5 0.04
[126，130) 8 0.07
[130，134) 10 0.08
[134，138) 22 0.18
[138，142) 33 0.28
[142，146) 20 0.17
[146，150) 11 0.09
[150，154) 6 0.05
[154，158] 5 0.04
合计 120 1.00
(2)画出频率分布直方图，如图所示．
(3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为
＝≈0.19.
所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.
[强化训练]
解：(1)由分组[10，15)的频数是10，频率是0.25，知
＝0.25，
解得M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，
得m＝4，p＝＝＝0.10.
因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，
所以a＝＝0.12.
(2)因为该校高三学生有240人，分组[10，15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为240×0.25＝60.
例3 【解】　(1) 甲＝(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，
乙＝(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知甲＝乙＝85分，所以
s＝[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，
s＝[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为甲＝乙，s＜s，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．
[强化训练]
解析：选B.法一：因为甲＝＝29，乙＝＝30，
所以甲<乙，
又s＝＝，s＝＝2，
所以s甲>s乙．故可判断结论①④正确．
法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.

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