资源简介

函数模型及其应用
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用． 1.用函数图象刻画变化过程． 2.应用所给函数模型解决实际问题． 3.构建函数模型解决实际问题． 1.数学建模． 2.数学运算．
二、本节重难点
1. 用函数图象刻画变化过程．
2. 应用所给函数模型解决实际问题．
3. 构建函数模型解决实际问题
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　)
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　)
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
4．(易错题)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
四、考点梳理
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
常用结论
1．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
常见误区
1．解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，考生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
2．解应用题建模后一定要注意定义域．
3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
五、典例剖析
考点一　用函数图象刻画变化过程
1．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是(　　)
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
2．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)
3．(多选)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的(　　)
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
[方法总结]
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．
考点二 已知函数模型求解实际问题
[例1] 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg . 一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　)
A．1倍 B．10倍
C．100倍 D．1 000倍
[方法总结]
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质等求解实际问题，并进行检验．
[跟踪训练]
据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
考点三　构建函数模型解决实际问题
角度一　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型
[例2] (2021·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[方法总结]
建模解决实际问题的三个步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
即：
[易错提示]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．　
角度二　构建指数、对数函数模型
[例3] 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2020年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2022年 B．2023年
C．2024年 D．2025年
[方法总结]
指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．
[跟踪训练]
1．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y与x的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
2．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
六、随堂训练
1．(2021·合肥第一次教学检测)射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001)(　　)
A．0.110 B．0.112
C．0.114 D．0.116
2．某购物网站在11月份开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．
3．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h．(车身长度不计)
4．(2021·陕西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝ (如图所示)实验表明，当药物释放量y<0.75(mg/m3)时对人体无害．
(1)k＝________；
(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．
5．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
七、本课小结
本节内容主要考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预计高考对本讲考查将延续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．答案：D
解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；
根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；
将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
3．答案：D
解析：由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；
由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；
由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；
由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
4．答案：y＝
解析：由题意可得y＝
5．答案：18
解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
典例剖析
1．答案：BD
解析：由题图得，前三小时的产量在逐步减少，故A错误，B项正确；
最后两小时内没有生产产品，故C项错误，D项正确．故选BD.
2．答案：B
解析：水位由高变低，排除C，D.
半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.
3．答案：ABC
解析：假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小时的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，故选ABC.
[例1] 答案：B
解析：设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x1W/m2，x2W/m2，
根据题意得d(x1)＝9lg ＝63，解得x1＝10－6，
d(x2)＝9lg ＝54，解得x2＝10－7，所以，＝10，
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B.
[跟踪训练]
答案：D
解析：由题意可知4解得.
考点三　构建函数模型解决实际问题
[例2] 解：(1)因为每件商品售价为6元，
则x万件商品销售收入为6x万元．
依题意得
当0P(x)＝6x－－2＝－x2＋4x－2，
当x≥8时，
P(x)＝6x－－2＝35－.
故P(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．
当x≥8时，P(x)＝35－≤35－2＝15(当且仅当x＝，即x＝10时，取等号)．
此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．
因为10<15，所以当年产量为10万件时，
小王在这一商品的生产中所获利润最大，
最大利润为15万元．
[例3] 答案：C
解析：若2021年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1300×1.12n万元，
由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，
所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，
所以第4年，即2024年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选C.
[跟踪训练]
1．答案：y＝　16
解析：年销售总收入减去年总投资即可得到年利润，年总投资为(x＋100)万元，故函数关系式为
y＝
当020时，y<140.
故年产量为16件时，年利润最大．
2．答案：6　10 000
解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，
则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
随堂训练
1．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得＝I0e－7.6×0.8μ，
所以＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选C.
2．答案：3
解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
3．答案：12
解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，
t相当于最后一辆车行驶了 km所用的时间，
因此，t＝＝＋≥2＝12，
当且仅当＝，即v＝时取等号．
故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.
4．答案：(1)2　(2)40
解析：(1)由题图可知，当t＝时，y＝1，所以＝1，所以k＝2.
(2)由(1)可知，y＝
当t≥时，y＝，令y<0.75，得t>，
所以在消毒后至少经过小时，即40分钟人方可进入房间．
5．解：(1)由题意得当0显然v＝ax＋b在[4，20]内是减函数，
由已知得
解得所以v＝－x＋，
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0当4所以当0因为8<12.5，所以当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．

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