人教B版(2019)数学必修第二册章末复习:平面向量及其线性运算 学案(含答案)

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人教B版(2019)数学必修第二册章末复习:平面向量及其线性运算 学案(含答案)

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平面向量及其线性运算
新课程标准 考向预测
1.了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示. 2.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义. 3.掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义. 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义. 命题角度 1.平面向量的有关概念 2.平面向量的线性运算 3.共线向量定理的应用
核心素养 数学运算、直观想象
【基础梳理】
一、向量的有关概念
1.既有大小又有__________的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示.
2.向量的大小,也就是向量的__________ (或称模),记作||.
3.长度为0的向量叫做__________,记作0. 长度为1个单位长度的向量叫做单位向量.
4.方向___________的非零向量叫做平行向量,也叫做共线向量.规定:0与任意向量平行.
5.长度相等且方向相同的向量叫做__________.
易错提示:零向量的方向为任意方向,与任意向量平行.例如,命题:“向量a平行于向量b,向量a平行于向量c,则向量b平行于向量c”为假命题,因为向量a可能为零向量.
基础小测
1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有正确命题的序号有(  )
A.① B.③ C.①③ D.①②
2.设a0为单位向量,下述命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0. 假命题的个数是(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是(  )
A.等腰梯形   B.矩形 C.正方形 D.菱形
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算  三角形法则  平行四边形法则 ▲ (1)交换律: a+b=b+a; (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)
减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a-b=a+(-b) 
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
常用结论
(1)若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+).
(2)=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
基础小测
1.(2020届云南曲靖一中复习质量监测三)△ABC中所在的平面上的点D满足=2,则=(  )
A.=+ B.=+
C.=+ D.=+
2.如图所示,已知=3,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是(  )
A.c=b-a B.c=2b-a
C.c=2a-b D.c=a-b
3.(2020届山东烟台上学期期中)在△ABC中,BD为AC边上的中线,E为BD的三等分点且DE=2BE,则=(  )
A.- B.-
C.+ D.+
【考点突破】
考点一 向量的有关概念及几何意义(高考热度:★)
[例1] 设a,b都是非零向量,下列四个选项中,一定能使+=0成立的是(  )
A.a=2b B.a∥b
C.a=-b D.a⊥b
[例2] 给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②λa=0(λ为实数),则λ必为零;
③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误的命题的个数为(  )
A.0 B.1
C.2 D.3
方法总结
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
考点二 平面向量的线性运算(高考热度:★★)
考向1 向量的线性运算及几何意义
[例3] (多选题)已知等边三角形ABC内接于⊙O,D为线段OA的中点,则=(  )
A.+ B.-
C.+ D.+
[例4] (一题多解)(2020·广东一模)已知A,B,C三点不共线,且点O满足16-12-3=0,则(  )
A.=12+3 B.=12-3
C.=-12+3 D.=-12-3
方法总结
向量的线性运算,即用几个已知向量表示某个向量,基本技巧为:
一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.
考点微练
1.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则(  )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
2.(2020届河南南阳一中上学期第二次开学考)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等腰直角三角形,F为线段AE的中点,设向量=a,=b,则=(  )
A.-a+b B.a+b
C.-a+b D.a+b
考向2 利用向量的线性运算求参数
[例5] 如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于(  )
A.1 B. C. D.
方法总结
求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.
考点微练
1.如图所示,AD是△ABC的中线,O是AD的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ=________,μ=________.
2.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.
考点三 向量共线定理的应用(高考热度:★)
[例6] 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
对点变式
变式1 若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则当A,B,D三点共线时,实数m的值为________.
变式2 若将本例(2)中的”共线“改为”反向共线“,则实数k的值为________.
方法总结
利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线.
易错提示:
(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.
(2)证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
参考答案
【基础梳理】
一、向量的有关概念
基础小测
1.解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.
2.解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
3.解析:因为=,所以∥,且||=||,所以四边形ABCD为以AD为上底,BC为下底的梯形.又||=||,所以梯形ABCD的两腰相等.因此四边形ABCD是等腰梯形.
二、向量的线性运算
基础小测
1.解析:因为=2,所以-=2(-),所以=+,故选D.
2.解析:因为=3,=a,=b,所以=+=+=+(-)=-=b-a,即c=b-a.
3.解析:由BD为AC边上的中线,得=(+),由DE=2BE,可得=.所以=-=-=(+)-=-,故选A.
【考点突破】
考点一 向量的有关概念及几何意义(高考热度:★)
[例1] 解析:由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与向量b共线且方向相反时,能使+=0成立.对照各个选项可知,选项A中a与b的方向相同;选项B中a与b共线,方向相同或相反;选项C中a与b的方向相反;选项D中a与b互相垂直.
[例2] 解析:选D ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.③错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.故错误的命题有3个,故选D.
考点二 平面向量的线性运算(高考热度:★★)
考向1 向量的线性运算及几何意义
[例3] 解析:如图所示,设BC的中点为E,则=+=+=+(+)=-+·=+.故选AC.
[例4] 解析: 法一:对于A.=12+3=12(-)+3(-)=12+3-15,整理,可得16-12-3=0,这与题干中条件相符合,故选A.
法二:已知A,B,C三点不共线,且点O满足16 -12 -3=0,所以16-12 -3= 1-12 + 3 -3+ = 1-)+ 3( -)+ =0,所以=12+3
答案: A
考点微练
1.解析:因为2=2+,所以2=,所以点P在线段AB的反向延长线上.故选B.
2.解析:作FG⊥BC,垂足为G,如图所示,则=+.又||=||,
||=||,所以=+=-a+b. 故选C.
考向2 利用向量的线性运算求参数
[例5] 解析:∵E为线段AO的中点,∴=+=+=λ+μ,∴λ+μ=+=.
考点微练
1.解析:由题意知,=(+)=+=(-)+=-,∴λ=,μ=-.
2.解析:由题意可求得AD=1,CD=,∴=2.∵点E在线段CD上,∴=λ(0≤λ≤1).∵=+=+λ,又=+μ=+2μ,∴2μ=λ,即μ=.∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤.
考点三 向量共线定理的应用(高考热度:★)
[例6] 解析:(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,∴,共线.又,有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)解:假设ka+b与a+kb共线,则存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0.消去λ,得k2-1=0,∴k=±1.
对点变式
变式1 解析:+=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即=4a+(m-3)b.
若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,即4a+(m-3)b=λ(a+b),
所以解得m=7.
变式2 解析:因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),
所以所以k=±1.又λ<0,k=λ,所以k=-1.

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