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向量基本定理与向量的坐标
新课程标准 考向预测
1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 命题角度 1.平面向量基本定理的应用 2.平面向量的坐标运算 3.平面向量坐标运算的应用
核心素养 数学运算
【基础梳理】
一、平面向量基本定理
1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识拓展：
1．已知e1，e2是两个互相垂直的非零向量，若这两个向量满足ae1＋be2＝xe1＋ye2，则a＝x，b＝y.这为待定系数法的应用提供了依据．
2．若D为△ABC的边BC的中点，则＝(＋)．
3．若G为△ABC的重心，则＝(＋)．
4．若E，F分别为四边形ABCD一组对边AD，BC的中点，则＝(＋)．
基础小测
1．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
2．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
二、平面向量的坐标运算
1．向量的正交分解
一个向量分解为两个互相__________的向量，叫做向量的正交分解．
2．向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得a＝__________.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，此式叫做向量的坐标表示．
3．两个向量平行的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b _______________.
4．向量的坐标运算
(1)两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)， 即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝_________________.
(2)一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，即A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____________________.
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原向量的相应坐标，即λa＝λ(x，y)＝__________(λ∈R)．
知识拓展：
1．中点坐标公式：若P0(x0，y0)是点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)连线的中点，则x0＝，y0＝.
2．重心坐标公式：若△ABC的顶点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且G(x0，y0)是△ABC的重心，则x0＝，y0＝.
3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
基础小测
1．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－)
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
3．已知□ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
【考点突破】
考点一　平面向量基本定理及其应用(高考热度：★★★)
[例1] 如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解题技法
平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
考点微练
1.(2020·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－　　　　　 B.－
C．－＋ D．－＋
2．在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________．
考点二　平面向量的坐标运算(高考热度：★★★)
考向1　已知向量的坐标问题
[例2] 已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2，0) B．(－3，6) C．(6，2) D．(－2，0)
[例3] (2020届河北张家口高三质检)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.
方法总结
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
考向2　向量问题坐标化
[例4]向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb (λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点微练
1．(2020届湖南师大附中高三月考)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A． B． C．2 D．
思路点拨
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
考点三　平面向量共线的坐标表示(高考热度：★★★)
[例5] 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b )，则λ＝________．
归纳点拨
1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)a∥b(a≠0)，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
对点变式
1.已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为(　　)
A．－ B． C．2 D．
2.已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是(　　)
A．－4 B．1 C．0 D．－2
参考答案
【基础梳理】
一、平面向量基本定理
基础小测
1．解析：如图，∵＝2，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
2．解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得解得
二、平面向量的坐标运算
基础小测
1．解析：两个不共线的非零向量构成一组基底．故选B.
2．解析：根据题意得＝(3，1)，
∴＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.
3．解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，
即解得
【考点突破】
考点一　平面向量基本定理及其应用(高考热度：★★★)
[例1] 解： (1)由题意知，A是BC的中点，且＝，
由平行四边形法则，得＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.
因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b.
所以(2－λ)a－b＝x. 因为a与b不共线，
由平面向量基本定理，得解得故λ＝.
考点微练
1. 解析：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
2．解析：取AB的中点F，连接CF，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝.
考点二　平面向量的坐标运算(高考热度：★★★)
考向1　已知向量的坐标问题
[例2] 解析：设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3，6)，∴x＝2，y＝0.
[例3] 解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得∴m＋n＝－2.
考向2　向量问题坐标化
[例4] 解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则解得λ＝－2，μ＝－，∴＝＝4.
考点微练
1．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)．
∵＝λ＋μ，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴解得则λ＋μ＝.
考点三　平面向量共线的坐标表示(高考热度：★★★)
[例5] 解析：2a＋b＝(4，2)．因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，解得λ＝.
对点变式
1. 解析：因为a＝(2，－1)，b＝(1，1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)．
又c＝(－5，1)，由(a＋kb)∥c得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝，故选B.
2. 解析：a＋2b＝(4，m－4)，
由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，解得m＝－4.
故选A.

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