资源简介

对数与对数函数
新课程标准 考向预测
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的发现历史以及对简化运算的作用． 2．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，a≠1). 命题角度 1.对数式的化简与求值 2．对数函数的图象及应用 3．对数函数的性质及应用
核心素养 直观想象、数学运算
【基础梳理】
一、对数及其运算
概 念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的________，记作：x＝logaN.其中a叫做底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性 质 底数的限制a>0，且a≠1
对数式与指数式的互化：ax＝N __________
负数和零没有对数
loga1＝____，logaa＝____，alogaN＝____
运算性质 loga(M·N)＝_____________ a>0，且a≠1， M>0，N>0
loga＝_____________
logaMn＝________(n∈R)
换底公式 公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)
推论 ＝________；logab＝
基础小测
1．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　　)
A．0 B．2 C．4 D．6
2．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　　)
A．a＝bc
C．a＜b＜c D．a>b>c
二、对数函数的图象与性质
概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1) 叫做对数函数
底数 a>1 0图象
定义域 __________
值域 ________
性质 过定点________
在(0，＋∞)上是________函数 在(0，＋∞)上是________函数
反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
知识拓展
对数函数的底数的大小决定了对数函数图象相对位置的高低：无论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0基础小测
1．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　　)
A．a＞1，c＞1
B．a＞1，0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1，0＜c＜1
2．(2020届广西南宁一中高三月考)已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　　)
A　　 　B
C　　　　 　D
3．(2020届湖南常德一中高三月考)若loga＜1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________________．
【考点突破】
考点一　 对数的运算(高考热度：★)
[例1] (2020届四川凉山一中高三月考)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　　)
A． 　 　B．10 　 　C．20 　 　D．100
[例2] log225·log3(2)·log59＝________．
[例3] (2020届安徽淮南一中高三月考)计算： ＝________.
考点微练
1．(2020届山东曲阜二中高三月考)设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________.
解题技法
对数运算的一般思路
拆 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并
合 将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
考点二　对数函数的图象及应用(高考热度：★★)
[例4] (2019浙江卷，6)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　　)
A B
C D
考点微练
1．(2020届广西桂林一中高三月考)函数y＝lg|x－1|的图象是(　　　)
2．(2020届河北邢台第二中学高三月考)已知当0＜x≤时，有＜logax，则实数a的取值范围为_______．
对点变式
1.不等式x2＜logax(a＞0，且a≠1)对x∈(0，)恒成立，则实数a的取值范围是________．
2. 方程4x＝logax在(0，]上有解，则实数a的取值范围为________．
方法总结
1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
考点三　对数函数的性质及应用(高考热度：★★★)
[例5] (2020届山东模拟)若a>b>c>1且acA．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logac
C．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac
解题技法
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
考点微练
1.(多选题)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则(　　)
A．πe<3e B．3e－2π<3πe－2
C．logπe3logπe
考向2　 利用对数函数的性质解对数不等式
[例6]已知函数f(x)＝ln(x＋)，则不等式f(x－1)＋f(x)＞0的解集是(　　　)
A．{x|x＞2}　 B．{x|x＜1}　
C．　 D．{x|x＞0}
解题策略
常见的对数不等式类型及求解策略
(1)形如loga f(x)>logag(x)的不等式，借助函数y＝logax(a>0且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如loga f(x)>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助函数y＝logax(a>0且a≠1)的单调性求解．
(3)形如loga f(x)>logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零．
考向3　对数型函数性质的综合应用
[例8]　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解题技法
求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
考点微练
1．已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，则实数a的取值范围是________________．
2．(2020届四川外国语学校高三月考)若函数f(x)＝loga(x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(，＋∞)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为__________．
数学运算－－巧用对数运算法则
若x，y，z∈R＋，且3x＝4y＝12z，∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值是(　　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
素养评析
谨记运算法则有关口诀：积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．若利用换底公式进行运算、化简，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
考点微练
1．设a＝＋＋＋，y＝|x－a|，x∈N，当y取最小值时的x的值为(　　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知a＞1，b＞1，若loga2＋logb16＝3，则log2(ab)的最小值为________．
参考答案
【基础梳理】
一、对数及其运算
基础小测
1．解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.
2．解析：因为a＝log23＋log2＝log23＝log23＞1，b＝log23＝log23＝a，c＝log32＜log33＝1.
二、对数函数的图象与性质
基础小测
1．解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1.
2．解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.
3．解析：当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
【考点突破】
考点一　 对数的运算(高考热度：★)
[例1] 解析：由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.
[例2] 解析：法一：log225·log3(2)·log59＝log252·log32·log532＝6log25·log32·log53＝6.
法二：log225·log3(2)·log59＝··＝··＝6.
答案：6
[例3] 解析：原式＝
＝
＝＝＝＝1.
考点微练
1．解析：∵函数f(x)＝3x＋9x，
∴f(log32)＝3＋9＝2＋9＝2＋4＝6.
考点二　对数函数的图象及应用(高考热度：★★)
[例4] 解析：(方法一)当0＜a＜1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)且单调递减，则函数y＝的图象过定点(0，1)且单调递增，函数y＝loga的图象过定点且单调递减，D选项符合；当a＞1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)且单调递增，则函数y＝的图象过定点(0，1)且单调递减，函数y＝loga的图象过定点且单调递增，各选项均不符合．综上，选D.
(方法二)函数y＝loga的定义域为，图象在直线x＝－的右边，只有D项符合此特征．
考点微练
1．解析：因为y＝lg|x－1|＝当x＝1时，函数无意义，故排除B，D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．
2．解析：若＜logax在x∈时成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，作出图象如图所示．
由图象知＜loga，所以解得＜a＜1.即实数a的取值范围是.
对点变式
1.解析：设f 1(x)＝x2, f 2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2当0＜a＜1时，如图所示，
要使x2所以有≤loga，解得a≥，所以≤a<1.
即实数a的取值范围是.
2. 解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点．
由图象知解得0考点三　对数函数的性质及应用(高考热度：★★★)
[例5] 解析：∵a>b>c>1，∴logablogcc＝1，∴logabb>c>1，且aclogb>logb，得logcb>logba>1，而logac<1，故选B.另外，可以代入特殊值进行检验，令a＝4，b＝3，c＝2，可排除A，C，再令a＝6，b＝4，c＝2，可以排除D，故选B.
考点微练
1.解析：已知π为圆周率，e为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴>1，πe>3e，故A错误；∵0<<1，1>e－2>0，∴>，∴3e－2π>3πe－2，故B错误；∵π>3，∴logπe3，可得log3e>logπe>0，则πlog3e>3logπe，故D正确．故选CD.
考向2　 利用对数函数的性质解对数不等式
[例6] 解析：∵函数f(x)＝ln(x＋)，∴f(－x)＝ln (－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∵f(x－1)＋f(x)＞0，∴f(x－1)＞－f(x)＝f(－x)．又f(x)为增函数，∴x－1＞－x，解得x＞，故选C.
考向3　对数型函数性质的综合应用
[例8]　解析：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
即函数f(x)的定义域为(－1，3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.
考点微练
1．解析：函数y＝log(x2－ax＋a)是由函数y＝logt和t＝x2－ax＋a复合而成的．因为函数y＝logt在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t＝x2－ax＋a在区间上单调递减，又因为函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，所以解得即2≤a≤2(＋1)．
2．解析：令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数．又M＝－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
数学运算－－巧用对数运算法则
解析：令3x＝4y＝12z＝k(k＞1)，则x＝，y＝，z＝.
∴＝＝＝＋＋2∈(4，5)＝(n，n＋1)，n∈N，
则n＝4.故选C.
答案：C
考点微练
1．解析：a＝＋＋＋＝logπ2＋logπ3＋logπ4＋logπ5＝logπ120，∵π4≈97.41，π5≈306.02，∴y＝|x－a|，x∈N，当y取最小值时的x的值为4.故选C.
2．解析：∵loga2＋logb16＝3，∴＋＝3.又a＞1，b＞1，∴log2a＞0，log2b＞0，∴log2(ab)＝log2a＋log2b＝(log2a＋log2b)＝＋＋＋≥＋＝3，∴log2(ab)的最小值为3.

展开更多......

收起↑