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幂函数与二次函数
新课程标准 考向预测
1.通过实例，了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 命题角度 1．幂函数的图象及性质 2．二次函数的解析式 3．二次函数的图象和性质
核心素养 逻辑推理、直观想象
【基础梳理】
一、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；
(2)xα的系数为1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0)减(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减
公共点 (1，1)
性质 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点________
α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间___________上是单调递增的
α<0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上是单调递________的．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴
常用结论
对于形如f(x)＝ (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
基础小测
1．(2020届福建福州第三中学高三月考)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝(　　　)
A． B．1 C． D．2
2．(2020届黑龙江大庆实验中学高三月考)幂函数f(x)＝x(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
二、二次函数
1．二次函数的图象与性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递增；在上单调递减 在上单调递增；在上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形
2.二次函数解析式的求法
名称 解析式 示例
一般式 f(x)＝________________ 图象过点(0，1)，(1，3)，(2，7)
顶点式 f(x)＝_________________ 图象顶点(－1，1)，过点(0，2)
零点式 f(x)＝_________________ 零点1，2，图象过点(0，2)
常用结论
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)＞0，当时，恒有f(x)＜0.
基础小测
1．(2020届湖北孝感一中高三月考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　　)
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
2．(2020届河南新乡二中高三月考)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是__________________________．
【考点突破】
考点一　幂函数的图象与性质(高考热度：★)
[例1] (多选题)若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则α的值可以是(　　)
A． B．－1 C．1 D．3
方法总结
1．幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
2．若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数；当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
考点微练
1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　　)
2．(多选题)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)是(0，＋∞)上的增函数
D．f(x)是(0，＋∞)上的减函数
3．(2020届安徽合肥九中高三月考)若a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　　)
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
4．(2019湖南邵阳10月联考)若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则a的取值范围是___________．
考点二　求二次函数的解析式(高考热度：★)
[例2] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
解题通法
求二次函数解析式的方法
考点微练
1．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，且x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为_________________．
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝_____________.
3．已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
考点三　二次函数的图象与性质(高考热度：★★)
考向1　 二次函数的图象
[例3] 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　　)
[例4] (2020届云南曲靖第一中学高三月考)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　　)
[例5] (2020届江西临川一中高三月考)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
解题技法
识别二次函数图象应学会“三看”
考向2　二次函数的单调性问题
[例6] (2020届四川广元二中高三月考)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　　)
A．[－3，0)
B．(－∞，－3]
C．[－2，0]
D．[－3，0]
对点变式
1.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
2.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]，求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数．
解题技法
1．对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
2．利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．
考向3　 二次函数的值域和最值
[例7] 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．
对点变式
1.求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值．
2.设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
方法总结
1．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
2．二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．
考向4　 二次函数与恒成立问题
[例8] (2020届内蒙古包头一中高三月考)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)＞2x＋m在区间[－1，1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．
考点微练
1．函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．
解题通法
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路
一是分离参数；二是不分离参数．
(2)关键
两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
参考答案
【基础梳理】
一、幂函数
基础小测
1．解析：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1. 又f(x)的图象过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
2．解析：因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2,
f(x)＝x(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－2＜0，从而a＝4，5，6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
二、二次函数
基础小测
1．解析：因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为直线x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.
答案：A.
2．解析：因为函数f(x)的图象开口向上，对称轴是直线x＝，所以要使f(x)在[－1，2]上是单调函数，则有≤－1或≥2，即k≤－8或k≥16.
答案：(－∞，－8]∪[16，＋∞)
【考点突破】
考点一　幂函数的图象与性质(高考热度：★)
[例1] 解析：因为f(x)＝xα为奇函数，故可排除A；又f(x)＝xα在(0，＋∞)上是增函数，故排除B；对于C，D，f(x)＝x与f(x)＝x3都满足条件．故选CD.
考点微练
1．解析：设幂函数的解析式为y＝xα.因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数．当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确．
2．解析：由题意可得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2，b＝－1，故f(x)＝x－1，则f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．故选AD.
3．解析：因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.
4．解析：构造函数y＝x3，根据幂函数的性质得该函数为增函数，故(3x＋a)3≤8x3等价于3x＋a≤2x对任意的x∈[a，a＋2]恒成立，即a≤－x，y＝－x递减，所以当x＝a＋2时，y＝－x取得最小值－a－2，所以a≤－a－2，所以得到a的取值范围是(－∞，－1]．
考点二　求二次函数的解析式(高考热度：★)
[例2] 解析：(方法一)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
(方法二)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为直线x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
(方法三)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
考点微练
1．解析：由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.
2．解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
3．解析：设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
考点三　二次函数的图象与性质(高考热度：★★)
考向1　 二次函数的图象
[例3] 解析：若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－＜0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
[例4] 解析：若0＜a＜1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a＞1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足．
[例5] 解析：因为f(x)的图象的对称轴为直线x＝－， f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)<0，得－1所以f(m＋1)＞f(0)＞0.
考向2　二次函数的单调性问题
[例6] 解析：当a＝0时， f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时， f(x)图象的对称轴为直线x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．
对点变式
1. 解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.又＝－1，∴a＝－3.
2. 解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是直线x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
考向3　 二次函数的值域和最值
[例7] 解析： f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为或－3.
对点变式
1. 解析： f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－a.
(1)当－a＜，即a＞－时， f(x)max＝f(2)＝4a＋5；
(2)当－a≥，即a≤－时， f(x)max＝f(－1)＝2－2a.
综上， f(x)max＝
2. 解析： f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，函数图象如图2所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知， f(x)min＝
图1 图2 图3
考向4　 二次函数与恒成立问题
[例8] 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1.又由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. f(x)＞2x＋m在区间[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，x∈[－1，1]，g(x)在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m＞0，所以m＜－1.
考点微练
1．解析：令ax＝t，因为a＞1，x∈[－1，1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2.又a＞1，所以a的最大值为2.

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