资源简介

用样本估计总体及统计图表
新课程标准 考向预测
1.统计图表 能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性． 2.用样本估计总体 (1) 结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义． (2) 结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义． (3) 结合实例，能用样本估计总体的取值规律. 命题角度 1.频率分布直方图的应用 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
核心素养 数据分析 数学运算
【基础梳理】
基础点一　用样本的频率分布估计总体分布
1．在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用________________表示，各小矩形的面积总和等于__________.
2．连接频率分布直方图中各小矩形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的__________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为________________，它能够更加精细地反映出总体在各个范围内取值的百分比．
基础小测
某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)
A．56 B．60 C．120 D．140
基础点二　用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．众数、中位数、平均数
(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝___________________.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积__________.
2．样本方差、标准差
标准差s＝________________________________，
其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，x是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
基础小测
1．某学生5次考试的成绩(单位：分)分别为85，67，m，80，93，其中 m＞0，若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为(　　)
A．70 B．75
C．80 D．85
2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87，89，90，91，92，93，94，96，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
3．(2020届上海格致中学高三开学考试)已知一组数据－1，1，0，－2，x的方差为10，则x＝________.
【考点突破】
考点一　统计图表
[例1] (多选题)(2020届山东模拟)下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．
根据该折线图可知，该地区2006年～2018年（ ）
A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同
C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量
D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大
[例2] 如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为(　　)
A．网易与搜狗的访问量所占比例之和
B．腾讯和百度的访问量所占比例之和
C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和
D．新浪与小说的访问量所占比例之和
归纳点拨
(1)通过扇形图可以清楚的表示出各部分数量与总量之间的关系；
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
考点突破
1．(多选题)比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是(　　)
A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
考点二　频率分布直方图(高考热度：★)
[例3] (2020届河北高三开学考试)某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2 000名顾客的消费金额(单位：元)，并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0，50]，(50，100]，(100，150]，(150，200]，(200，250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知a，b，c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为________．
重要公式
(1)×组距＝频率．
(2)＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
归纳点拨
1．绘制频率分布直方图时需注意：(1)制作好频率分布表后可以利用各组的频率之和是不是1来检验该表是否正确；(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．
考点微练
1．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是(　　)
A．成绩在[70，80]分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分为70.5
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
技法点拨
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
2．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为________．
考点三　样本的数字特征(高考热度：★★)
[例4] (2019全国卷Ⅲ，17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
甲离子残留百分比直方图
乙离子残留百分比直方图
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
归纳点拨
利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法
(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以求出中位数．
(2)平均数：平均数的值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点横坐标之和．
(3)众数：最高矩形的中点的横坐标．
考点微练
1．(2020届云南师大附中高三月考)某调研机构，对本地[22，50]岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族”，否则称为 “非低碳族”，结果显示，有100人为 “低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，估计这100名 “低碳族”年龄的平均值、中位数；
(2)若在 “低碳族”且年龄在[30，34)岁、[34，38)岁的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应抽取多少人？
2．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
频数 6 26 38 22 8
(1)作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
参考答案
【基础梳理】
基础点一　用样本的频率分布估计总体分布
基础小测
解析：设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140.故选D.
基础点二　用样本的数字特征估计总体的数字特征
基础小测
1．解析：已知的四次成绩按照由低到高的顺序排列为67，80，85，93，该学生这5次考试成绩的中位数为80，则m≤80，所以平均数为≤81，可知得分的平均数不可能为85.
2．解析：∵这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，∴中位数是＝91.5，平均数x＝＝91.5.
3．解析：－1，1，0，－2，x的平均数为，
所以＝10.
解得x＝7或x＝－8.
【考点突破】
考点一　统计图表
[例1] 答案：AD
解析：由图知两条折线都呈上升趋势，但城乡居民储蓄年末余额增速较快，且二者差额逐年增大，故A，D正确，B，C错误．
[例2] 答案：A
解析：由访问网站的扇形比例图得，网易与搜狗的访问量所占比例之和为15%＋3%＝18%，不超过21%；腾讯和百度的访问量所占比例之和为20%＋3%＝23%，超过21%；淘宝与论坛的访问量所占比例之和为20%＋2%＝22%，超过21%；新浪与小说的访问量所占比例之和为20%＋2%＝22%，超过21%.故选A.
考点突破
1．答案：AC
解析：对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，故A正确；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，<4，故C正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选AC.
考点二　频率分布直方图(高考热度：★)
[例3] 解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又由频率分布直方图可得a＋b＋c＝×[1－(0.002＋0.006)×50]＝0.012，
∴b＝0.004，故消费金额超过150元的频率为(b＋0.002)×50＝0.3，
故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为2 000×0.3＝600.
考点微练
1．答案：D
解析：由频率分布直方图可得，成绩在[70，80]分的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40，60)分的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40，70)分的频率为0.45，由成绩在[70，80]分的频率为0.3，得中位数为70＋10×≈71.67(分)，故D错误．故选D.
2．解析： 由题图知，(0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005)×10＝1，解得a＝0.03.∴身高在[120，130)内的学生人数为100×0.03×10＝30.
考点三　样本的数字特征(高考热度：★★)
[例4] 解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
考点微练
1．解：(1)100名“低碳族”年龄的平均值
x＝24×0.04＋28×0.08＋32×0.16＋36×0.44＋40×0.16＋44×0.1＋48×0.02＝35.92≈36(岁)，
设中位数为a，前三个矩形的面积为0.04＋0.08＋0.16＝0.28，
前四个矩形的面积为0.04＋0.08＋0.16＋0.44＝0.72，则a∈(34，38)．
由题意可得0.28＋(a－34)×0.11＝0.5，解得a＝36，因此，中位数为36岁．
(2)年龄在[30，34)岁、[34，38)岁的频率分别为0.04×4＝0.16，0.11×4＝0.44，频率之比为0.16∶0.44＝4∶11，所抽取的30人中，年龄在[30，34)岁的人数为30×＝8，年龄在[34，38)岁的人数为30×＝22.
2．解：(1)样本数据的频率分布直方图如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，因此不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．

展开更多......

收起↑