资源简介

指数与指数函数
新课程标准 考向预测
1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景. 命题角度 1.指数幂的运算 2.指数函数的图象及应用 3.指数函数的性质及应用
2.理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 核心素养 数学运算、直观想象
【基础梳理】
一、指数与指数运算
n次方根 概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，n∈N*
性质 当n是奇数时，a的n次方根x＝
当n是偶数时，正数a的n次方根x＝±；负数的偶次方根没有意义
n次方根 性质 0的任何次方根都是0，记作＝0
根式 概念 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数
性质 当n为任意正整数时，()n＝____
当n为奇数时，＝________
当n为偶数时，＝＝_________
2.分数指数幂
概念 正数的正分数指数幂：a＝_______ a>0， m，n∈N*， 且n>1
正数的负分数指数幂：a＝＝______
0的正分数指数幂等于______；0的负分数指数幂__________
运算性质 ar·as＝________(a>0，r，s∈Q)
(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)
(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)
知识点睛
(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．
(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
基础小测
1．化简(x＜0，y＜0)得(　　　)
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
2．(2020届浙江台州一中高三月考)设x＋x－1＝3，则x2＋x－2的值为(　　　)
A．9 B．7 C．5 D．3
3．(2020届湖北荆州中学高三月考)计算×(－)0＋80.25×－＝(　　)
A．0 B．1 C． D．2
二、指数函数的图像与性质
概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数
底数 a>1 0图象
定义域 _____
值域 ___________
性质 过定点________
在R上是________函数 在R上是________函数
知识拓展
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， .
2．指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
基础小测
1．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，)，则f(－2)＝(　　　)
A．1 B．2 C． D．3
2．(2020届湖北宜昌一中高三月考)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.
3．(2020届福建三明二中高三月考)若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________________.
【考点突破】
考点一　 指数幂的运算(高考热度：★)
[例1] (2020届四川凉山一中高三月考)计算：(－)＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________.
[例2] (2020届山东曲阜二中高三月考)已知a>0，化简：＝________.　
[解题技法]
指数幂的运算
考点二　 指数函数的图象及应用(高考热度：★★)
[例3] (2020届安徽临泉一中高三月考)已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[例4] (2020届贵州遵义第一中学高三月考)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
对点变式
1. 若函数y＝|4x－1|的单调递增区间是[k，＋∞)，则k＝________.
注意“函数在区间……上单调”与“函数的单调区间是……”二者的区别．
2.若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________________．
方法总结
指数型函数的图象，可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
考点三　指数函数的性质及应用(高考热度：★★★)
考向1　利用指数函数的性质比较大小
[例5] 已知a＝()，b＝()，c＝()，则(　　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
[例6] (2020届江西临川二中高三月考)下列各式比较大小正确的是(　　　)
A．1.72.5＞1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
[例7] (2020届湖南师大附中高三月考)已知0＜a＜1，x＞y＞1，则下列各式中正确的是(　　)
A．xa＜ya B．ax＜ay
C．ax＞ay D．ax＞ya
解题通法
单调 性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底
取中间值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，进而得出大小关系
考向2　解简单的指数不等式
[例8]　已知实数a≠1，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
[例9] (2020届江苏南通通州区第一次调研抽测)不等式<的解集为________．
考点微练
1．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为_______________．
解题通法
简单的指数方程或不等式问题的求解策略如下：
(1)af(x)＝ag(x)f(x)＝g(x)．
(2)af(x)＞ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
考向3　与指数函数有关的复合函数问题
1．(2020届山东垦利第一中学高三月考)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是___________．
2．若函数f(x)＝()的值域是(0，]，则f(x)的单调递增区间是_____________．
3．若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是____________．
4．若f(x)＝是R上的奇函数，则实数a的值为________， f(x)的值域为________．
易错警示
1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．
2．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0
(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围．)
参考答案
【基础梳理】
一、指数与指数运算
基础小测
1．解析：因为x＜0，y＜0，所以＝(16x8·y4)＝16·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
2．解析：∵x＋x－1＝3，∴(x＋x－1)2＝9，即x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7.
3．解析：原式＝＋×－＝2.故选D.
二、指数函数的图像与性质
基础小测
1．解析：依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝，所以f(－2)＝＝3.
2．解析：由指数函数的定义可得解得a＝2.
3．解析：由题意知0【考点突破】
考点一　 指数幂的运算(高考热度：★)
[例1] 解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
[例2] 解析：原式＝÷×
＝a(a－2b)××＝a2 .
考点二　 指数函数的图象及应用(高考热度：★★)
[例3] 解析：如图，观察图象易知，a，b的关系为a[例4] 解析：函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，
所以k的取值范围是(－∞，0]．
对点变式
1. 解析：函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在[0，＋∞)上单调递增，所以k＝0.
2.解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|的图象与直线y＝k有一个交点，y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，即函数f(x)有一个零点．
考点三　指数函数的性质及应用(高考热度：★★★)
考向1　利用指数函数的性质比较大小
[例5] 解析：∵y＝在R上为减函数，>，∴b又∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数，>，
∴a>c，∴b[例6] 解析：A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误．
[例7] 解析：∵＞1，∴＝＞＝1，∴xa＞ya，∴A错误；∵0＜a＜1，∴f(x)＝ax为减函数，又x＞y＞1，∴ax＜ay，∴B正确，C错误；对于D，∵ax＜a0＝1，而ya＞y0＝1，∴ax＜ya，∴D错误．故选B.
考向2　解简单的指数不等式
[例8]　解析：当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.
[例9] 解析：由<，得<2－1，得x2－x－3<－1，解得－1考点微练
1．解析：∵f(x)为偶函数，当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0.∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
考向3　与指数函数有关的复合函数问题
1．解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的．而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
2．解析：令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是，所以g(x)的值域是[2，＋∞)．因此有解得a＝1，这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]．
3．解析：从已知不等式中分离出实数a，得a≥－.∵函数y＝＋在R上是减函数，∴当x∈(－∞，1]时，＋≥＋＝，从而得－≤－.故实数a的取值范围为.
4．解析：∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴＝0，解得a＝1，∴f(x)＝＝1－.∵2x＋1>1，∴0<<2，∴－1<1－<1，∴f(x)的值域为(－1，1)．

展开更多......

收起↑