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(共12张PPT)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
复习回顾
三角函数的概念
﹒
角 终边与单位圆的交点为 ，则
点 是角 终边上异于原点的任意一点，
则 ，其中r是以点O为圆心以
OP为半径的圆的半径。
学习目标
1，经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系.
2，掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质.
3，依托现实情境，发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.
首先我们将实际问题转化为数学问题
你觉得怎样建系比较好？
转轮中心为原点
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？
探究新知
筒车（点P）与水面的高度与哪些量有关？
点P与x轴的距离与什么量有关？可用什么知识点来求解？
OP与x轴正半轴的夹角与什么量有关？怎么表示？
盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是：
r是半径， 是单位时间内转过的角度， 是盛水筒初始位置与x轴正半轴所成的夹角，h是转轮中心距离水面的高度
点P到x轴的距离，x轴到水面的距离
点P的纵坐标
终边OP与x轴正半轴所成的夹角
三角函数的定义
初始角度
转过的角度
探究新知
巩固新知
为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面
直角坐标系，设秒针指尖指向位置 。若初始位置
为 ，秒针从 （注：此时t=0）开始顺时针方向
走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系式为（ ）
初始角度
顺时针转动，所以角速度为负值，60秒转 弧度，所以角速度为
所以
巩固新知
水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项
古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征。如图是一个半径为R的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为
（x，y），其坐标满足 　　，当t=100时， （　　　　）
当t=100时，终边OP与x轴正半轴所成的夹角为
（1）由最低点到达最高点是半圈，耗时10分钟
（2）设该盛水筒距离水面的高度为y，可得
令
即
所以
解得
所以转动一周的过程中，水流出的时间为 分钟
巩固新知
某筒车半径为１０米，筒车转轮中心距离水面的高度为６米，筒车逆时针匀速转动，每２０分钟转一圈，某个盛水筒开始时位于最低点，则
（１）这个盛水筒经过几分钟第一次到达最高点？
（２）当盛水筒距离水面高度不低于１１米时，其中的水会流出，则在转动一周的过程中，水流出的时间是多少？
巩固新知
如图，摩天轮的半径为４０米，其中心Ｏ点距离地面的高度为５０米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且２０分钟转一圈，若摩天轮上点Ｐ的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（　　　）
Ａ，经过１０分钟后点Ｐ距离地面１０米
Ｂ，若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的
Ｃ，第１７分钟和第４３分钟时点Ｐ距离地面的
　　高度相同
Ｄ，摩天轮转动一圈，点Ｐ距离地面的高度不低
　　于７０米的时间为　　分钟
点P到地面的距离为
（1）
所以
（2）转动5分钟后距地面高度为37.5米.
巩固新知
如右图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，若摩天轮最高点距地面高度为１２０米，转盘直径为１１０米，设置有４８个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，转一周大约需要３０分钟。
（１）游客坐上摩天轮的座舱，开始转动ｔ分钟后离地面的高度为Ｈ米，求在转动一周的过程中，Ｈ关于ｔ的函数解析式。
（２）求游客甲在开始转动５分钟后距离地面的高度。
（３）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值（精确到０.１）
（3）甲、乙两人的位置分别用A，B表示，如图所
示，则 .经过t分钟后甲距离地面的高度为
，点B相对于点A始终落后 ，
所以经过t分钟后乙距离地面的高度为
则甲、乙距离地面的高度差为
应用和差化积公式可得
当 ，即 或22.8时，h的最大值为
米.
巩固新知
用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？
实际问题
数学问题
三角函数模型
求解三角函数问题
实际问题的解
抽象
转化
引入
构建
课堂小结

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