资源简介

1.2　集合间的基本关系
学习目标
1．理解集合之间的包含和相等的含义，能识别给定集合的子集．
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.
学习重难点
重点：
1．集合之间的包含与相等关系．
2．子集、真子集的含义和判断．
难点：
1．判断集合之间的关系．
2．空集的理解和应用.
学习过程
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P7～8，思考并完成以下问题
(1)集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间这些关系？
(2)集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？
(3)空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？
预习任务二：简单题型通关
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)
(2)任何一个集合都有子集．(　　)
(3)若A＝B，则A B.(　　)
(4)空集是任何集合的真子集．(　　)
2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　)
A．N∈M　　　　　　 B．N M C．N M D．N M
3．下列四个集合中，是空集的为(　　)
A．{0} B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
二、新知精讲
1．子集的概念
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
记法 与读法 记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A. (2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则A C
[点睛]　“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
2．集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
[点睛]　(1)若A B，又B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B，且B A.
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
3．真子集的概念
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集
记法 记作AB(或BA)
图示
结论 (1)AB且BC，则AC； (2)A B且A≠B，则AB
[点睛]　在真子集的定义中，AB首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
4．空集的概念
定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身， (2)A≠ ，则 A
三、题型探究
题型一 集合间关系的判断
[例1]　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[归纳总结]
判断集合间关系的2种方法
(1)用定义判断．
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．　
[活学活用]
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
题型二 有限集合子集的确定
[例2]　(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是(　　)
A．6　　　　　　　　　 　B．7
C．8 D．9
(2)满足{1,2}M {1,2,3,4,5}的集合M有________个．
[归纳总结]
求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；
②A的真子集的个数为2n－1个；
③A的非空真子集的个数为2n－2个．
[活学活用]
3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A B的B的个数是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
题型三 由集合间的关系求参数值(或范围)【一题多变、发散思维】
[例3]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A B，求实数m的取值范围．
[一题多变]
1．[变条件]本例中若将“A B”改为“B A”，其他条件不变，求m的取值范围．
2．[变条件]本例若将集合A，B分别改为A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，其他条件不变，求实数m的值．
[归纳总结]
由集合间的关系求参数的2种方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
四、易错误区
忽视空集的特殊性而导致错误
[典例]　设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有满足条件的a的取值集合．
[易错警示]
错误原因 纠错心得
错解忽略了N＝ 这种情况. 空集是任何集合的子集．解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则.
五、达标检测
1．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是(　　)
2．集合{0,1}的子集有(　　)
A．1个　　 　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
3．已知集合P＝{x|x2≤1}，N＝{a}，若N P，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－x＋2m＝0}，若A∩B＝B，求m的取值范围．
六、本课小结
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A B的常用方法．
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝ 时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
参考答案
课前预习
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．答案：D
3．答案：B
4．答案：－1
题型探究
[例1] [解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.
(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
[活学活用]
1．解析：选B　解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
2．解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.
答案：(1)＝　(2) 　(3) 　(4)∈
[例2]　 [解析]　(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为 ，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.
(2)由题意可得{1,2}M {1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[答案]　(1)B　(2)7
[活学活用]
3．解析：选B　根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
4．解析：选B　满足条件的集合B可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以满足A B的B的个数是4.故选B.
[例3]　 [解]　∵A B，
∴解得
故3≤m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
[一题多变]
1．解：(1)当B＝ 时，m－6>2m－1，即m<－5.
当B≠ 时，
即m∈ .
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
2．解：因为A B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1,3,1}，A＝{3,1}满足A B.
四、易错误区
[错解]　由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得N＝{－1}或{3}．
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
[正解]　由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
得N＝ 或N＝{－1}或N＝{3}．
当N＝ 时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
达标检测
1．解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴NM.
答案：B
2．解析：集合{0,1}的子集为 ，{0}，{1}，{0,1}．
答案：D
3．解析：P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，要使N P，只需使－1≤a≤1.
答案：C
4．解析：由题意得A＝{1,2}．
因为A∩B＝B，所以B A.
①当B＝ 时，方程x2－x＋2m＝0无实数解，因此其判别式Δ＝1－8m<0，即m>；
②当B＝{1}或B＝{2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个相同的实数解x＝1或x＝2，因此其判别式Δ＝1－8m＝0，解得m＝，代入方程x2－x＋2m＝0解得x＝，矛盾，显然m＝不符合要求；
③当B＝{1,2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个不相等的实数解x＝1或x＝2，因此1＋2＝1,2m＝2.显然第一个等式不成立．
综上所述，m>.

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