资源简介

1.3.2　补集及综合应用导学案
【学习目标】
1. 理解补集的含义．
2．会求给定子集的补集.
【学习重难点】
重点：补集的概念及其求法．
难点：交、并、补集的综合运算.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P12～13，思考并完成以下问题
(1)全集与补集的含义是什么？
(2)如何用Venn图表示给定集合的补集？
预习任务二：简单题型通关
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定包含任何元素(　　)
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同(　　)
(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．(　　)
2．已知全集U＝{0,1,2}，且 UA＝{2}，则A＝(　　)
A．{0}　　 B．{1}　　 　C． 　　 　D．{0,1}
3．设全集为U，M＝{0,2,4}， UM＝{6}，则U等于(　　)
A．{0,2,4,6}　　　　　　　　　 　B．{0,2,4}
C．{6} D．
4．全集U＝{x|0二、新知精讲
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_________，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作________.
[点睛]　全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．
2．补集
定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中_____________的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作______________________
符号 语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形 语言
性质 (1) UA U； (2) UU＝ ， U ＝U； (3) U( UA)＝A； (4)A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝
[点睛]　 UA的三层含义：
(1) UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
三、题型探究
题型一 补集的运算
[例1]　(1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM＝(　　)
A．U　　　　　　　　　 　B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则 UA＝________.
[归纳总结]
求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
[活学活用]
1．设全集U＝R，集合A＝{x|22．设U＝{x|－5≤x<－2，或2题型二 交集、并集、补集的运算
[例2]　(1)(天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{2}　　　　　　　 　B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[归纳总结]
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[活学活用]
3．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩ UB等于(　　)
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．
4．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则( RS)∪T等于(　　)
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
题型三 与补集有关的参数值的求解（一题多变 思维发散）
[例3]　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[一题多变]
1．[变条件]本例将条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
2．[变条件]本例将条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[归纳总结]
由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．　　　　
四、思想方法
补集思想的应用
[典例]　已知集合A＝{y|y＞a2＋1或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
[小结]　对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，往往能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.
五、达标检测
1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩( UB)＝(　　)
A．{x|0≤x＜1}　　　　　 B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
2.设全集U＝R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2} D．{x|x<2}
3．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则( UA)∪( UB)＝________.
六、本课小结
1. 对集合中含参数的元素，要由条件先求出参数再作集合的运算．
2．集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行．
3．有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行．如( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算．
参考答案
课前预习
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．答案：D
3．答案：A
4．答案：{x|5≤x<10}
新知精讲
1.(1)所有元素 (2) U
2. 不属于集合A UA
题型探究
[例1]　 [解析]　(1)因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由补集的定义，可知 UM＝{3,5,6}．
(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知 UA＝{x|－2≤x≤2}．
[答案]　(1)C　(2){x|－2≤x≤2}
[活学活用]
1．解析：用数轴表示集合A为图中阴影部分，
∴ UA＝{x|x≤2或x>5}．
答案：(1){x|x≤2或x>5}
2．解析：法一：在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示．
则 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
答案：{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5}
[例2]　 [解析]　(1)A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
(2)把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
∵ RA＝{x|x<3，或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2[答案]　(1)B　(2){x|x≤2，或x≥10}　{x|2[活学活用]
3．解析：选A　∵U＝{1,2,3,4}， U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，
∴{3} A {1,2,3}．
又 UB＝{3,4}，
∴A∩ UB＝{3}．
4．解析：选C　因为S＝{x|x>－2}，所以 RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以( RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}
＝{x|x≤1}.
[例3]　 [解]　由已知A＝{x|x≥－m}，
得 UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2.
[一题多变]
1．解：由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)∩B≠ ，
所以－m>－2，解得m<2.
2．解：由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
思想方法
[解析]　因为A＝{y|y＞a2＋1或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，所以不妨先求当A∩B＝ 时a的取值范围，如图所示．
由题意可得
解得a≤－或≤a≤2.
即当A∩B＝ 时，a的取值范围为{a|a≤－或≤a≤2}，
故A∩B≠ 时，a的取值范围为{a|－＜a＜或a＞2}．
达标检测
1．解析：画出数轴，如图所示，
UB＝{x|x≤1}，
则A∩( UB)＝{x|0＜x≤1}．
答案：B
2.
解析：阴影部分所表示集合是N∩( UM)，
又∵ UM＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩( UM)＝{x|1＜x≤2}．
答案：C
3．解析：依题意得知， UA＝{c，d}， UB＝{a}，( UA)∪( UB)＝{a，c，d}．
答案：{a，c，d}

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