资源简介

1.4　充分条件与必要条件导学案
学习目标
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义．
2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．
3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系．
4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．
学习重难点
重点： 会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件
难点： 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．
学习过程
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P17～21，思考并完成以下问题
1．什么是充分条件、必要条件？
　
2．什么是充要条件？
　
预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件(　　)
(2)α＝是sin α＝的必要条件(　　)
(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题(　　)
(4)“若p，则q”是真命题，则p是q的必要条件(　　)
2．不等式x－1＞0成立的充分不必要条件是(　　)
A．－1＜x＜0或x＞1 B．0＜x＜1
C．x＞1 D．x＞2
3．设集合M＝{x|0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．“a>0，b>0”是“ab>0”的________条件(填“充分”或“必要”)．
二、新知精讲
1、充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的________，q是p的________．
如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作________．此时，我们就说________，________.
2、充要条件
一般地，如果既有p q，又有q p，就记作________．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称________．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q________.
[点睛]　
1．对充分条件的理解
充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立．例如，x＝6 x2＝36，但是，当x≠6时，x2＝36也可以成立，所以“x＝6 ”是“x2＝36成立”的充分条件．
2．对必要条件的理解
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的，真命题的条件是结论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要条件．
(2)“p是q的必要条件”的理解：推出关系为q p，若有q，则必须有p；而具备了p，则不一定有q.
3．常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：
原命题 逆命题 p与q的关系
真 真 p是q的充要条件， q是p的充要条件
真 假 p是q的充分不必要条件， q是p的必要不充分条件
假 真 p是q的必要不充分条件， q是p的充分不必要条件
假 假 p是q的既不充分也不必要条件， q是p的既不充分也不必要条件
三、题型探究
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
[例1]　(1)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2) 如果x，y是实数，那么“x≠y”是“x2≠y2”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[归纳总结]
充要条件的判断方法
(1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p q”及“q p”的真假；③下结论：根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B ＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．　　　　　　
[活学活用]
1．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“ A≤B”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
题型二 充分条件与必要条件的应用
[例2]　已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
[一题多变]
1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
2．[变条件]将“q：实数x满足x2－x－6≤0”改为“q：实数x满足x2＋3x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
[归纳总结]
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
题型三 充要条件的证明
[例3]　证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
[归纳总结]
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[注意]　证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
[活学活用]
3.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
四、易错误区
充分条件判断中的致误原因
[典例]　给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
五、达标检测
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．“b＝0”是“直线y＝2x＋b过坐标原点”的(　　)
A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A C，B U C”是“A∩B＝ ”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是“不便宜”是“好货”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
六、本课小结
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
2．充要条件
(1)定义：若p q且q p，则记作p q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
参考答案
课前预习
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．答案：D　解析：由不等式知，x＞1为x－1＞0的充要条件，结合选项，知D为充分不必要条件．
3．答案：B
4．答案：充分
题型探究
[例1]　 [解析]　(1)由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
∵0≤x≤2 x≤2，x≤2 0≤x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
(2) x≠yx2≠y2，如x=2,y=﹣2；x2≠y2 x≠y.故“x≠y”是“x2≠y2”的必要不充分条件．
[答案]　(1)B　(2)C
[活学活用]
1．解析：选A　因为三角形中，大边对大角，大角对大边。故a≤b A≤ B，选A.
2．解析：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件.
[例2]　 解析：　由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a所以p：3a由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q p，所以p q，所以A B，
所以 －≤a<0，
所以a的取值范围是.
[一题多变]
1．解析：由x2－4ax＋3a2<0且a>0得a所以p：a由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以q p，所以B A，
所以
2．解析：由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a所以p：3a由x2＋3x≤0得－3≤x≤0，
所以q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为q p，所以p q，所以A B，
所以 －1≤a<0.
所以a的取值范围是[－1,0)．
[例3] 证明：　(1)充分性：∵ac<0，
∴Δ＝b2－4ac>0，<0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根．
设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1·x2＝<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．
(2)必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
[活学活用]
3.证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0，
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，
得>，即<.
综上所述，<的充要条件是xy>0.
易错误区
[典例] 解析：　由题意知q p，pq，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于,所以p是q的充分而不必要条件，故选A.
答案：　A
[易错分析]　(1)没有分清条件和结论，颠倒了充分性与必要性而误选B.
(2)对已知中“p是q的必要而不充分条件”认识不够，不知用逆否命题等价性进行转化而造成错解．
[防范措施]　解决条件判断问题时，务必分清条件与结论，然后既要尝试由条件能否推出结论，也要尝试由结论能否推出条件，这样才能明确做出充分性与必要性的判断，当命题中含有否定性词语时，可考虑通过逆否命题的等价转化来判断．
达标检测
1．答案：A　解析：a＝3 A B，A B a＝2或3，因此是充分不必要条件．
2．答案：C　解析：b＝0时，直线y＝2x＋b过坐标原点．直线y＝2x＋b过坐标原点时，b＝0．故选C.
3．答案：C　解析：若存在集合C使得A C，B U C，则可以推出A∩B＝ ；若A∩B＝ ，由Venn图可知，一定存在集合C，同时满足A C，B U C，故“存在集合C使得A C，B U C”是“A∩B＝ ”的充要条件，故选C.
4．答案：B　解析：根据等价命题，便宜 没好货，等价于好货 不便宜，故选B.

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