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1.5　全称量词与存在量词导学案
【学习目标】
1. 理解全称量词与存在量词的意义．
2．会判定全称命题和特称命题的真假．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
4．体会从具体到一般的认知过程，培养抽象、概括的能力．
【学习重难点】
重点： 会判定全称命题和特称命题的真假．
难点： 能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P24～29，思考并完成以下问题
1．全称量词、全称命题的定义是什么？
　　
2．存在量词、特称命题的定义是什么？
　
3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？
　
预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略(　　)
(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题(　　)
(3)“三角形内角和是180°”是全称命题(　　)
2．命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A． x∈R，|x|＋x2<0　 　B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x0∈R，|x0|＋x<0 D． x0∈R，|x0|＋x≥0
3．下列全称命题为真命题的是(　　)
A．所有的质数是奇数
B． x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
4．命题p： x0∈R，＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为p：______________.
二、新知精讲
1．全称量词与全称命题
全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号 __ __
全称命题 含有全称量词的命题
形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
2．存在量词与特称命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 __ __
特称命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“ x0∈M，p(x0)”
3．全称命题与特称命题的否定
知识点 原命题 命题的否定
全称命题的否定 p： x∈M，p(x) p： x0∈M，p(x0)
特称命题的否定 p： x0∈M，p(x0) p： x∈M，p(x)
[点睛]　
(1)全称命题的否定
全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．
(2)特称命题的否定
特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．
三、题型探究
题型一 全称命题与特称命题的判断
[例1]　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的三角形内角和不是180°；
(3)对任意实数x，都有x 2＋2 x+1>0；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[归纳总结]
判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路
[注意]　全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．
[活学活用]
1.用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)正数的绝对值是它本身．
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
题型二 全称命题、特称命题的真假判断
[例2]　(1)判断下列命题中的真假
A．有些实数是无限不循环小数(　　)
B．每一个末位是0的整数都是5的倍数；(　　)
C．存在一个三角形不是等腰三角形；(　　)
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等(　　)
(2)下列命题中的假命题是(　　)
A． x0∈R，x0＞0　　 　B． x0∈R，x2＋2x＋1＝0
C． x∈R，x2>0 D． x∈Z，|x|∈N
[归纳总结]
全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
[活学活用]
2.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．
(1) x∈R ，x2－x＋1＝0
(2)任意两个等边三角形都相似；
(3)有些平行四边形是菱形；
(4) x0∈R，使＋1<0.
题型三 全称命题与特称命题的否定
[例3]　(1)设命题p： n∈N，n2>2n，则p为(　　)
A． n∈N，n2>2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2＝2n
(2) 命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
[归纳总结]
全称命题与特称命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．　　　　　　
[活学活用]
3.判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
题型四 利用全称命题与特称命题求参数
[例4]　若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[归纳总结]
利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[活学活用]
4.已知命题p： x0∈R，使－mx0＋1＝0，命题q： x∈R，有x2－2x＋m>0.若命题q∨(p∧q)为真，p为真，求实数m的取值范围．
五、达标检测
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则(　　)
A．p： x∈A,2x B　　　 B．p： x A,2x B
C．p： x A,2x∈B D．p： x∈A,2x B
3．下列命题中，真命题是(　　)
A． x0∈R，≤0
B． x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
六、本课小结
1.要判断全称命题“ x∈M，p(x)”为假命题，只需要在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可；要判断全称命题为真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．简单地说，判断全称命题真假的步骤为“先找反例后证明”．
2.要判断特称命题“ x0∈M，p(x0)”为真命题，只需要在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；要判断特称命题为假命题，必须说明集合M中不存在元素x0，使得p(x0)成立．简单地说，判断特称命题真假的步骤为“先找正例后证明”．
3.全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．
参考答案
课前预习
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．答案：C
3．答案：B
4．答案：特称命题 　假　 x∈R，x2＋2x＋5≥0
题型探究
[例1]　解析：　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
[活学活用]
1.解析：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3) 所有正数的绝对值是它本身．
(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
[例2]　解析： (1) A．有些实数是无限不循环小数 (真)
B．每一个末位是0的整数都是5的倍数；(真)
C．存在一个三角形不是等腰三角形；(真)
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等(真)
　(2)对于A，x0＝1时，x0＞0
对于B，x＝－1时，x2＋2x＋1＝0；
对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；
对于D，x∈Ｚ，|x|∈Ｎ恒成立．
[活学活用]
2.解析：(1)是全称命题．
∵x2－x＋1>0恒成立，∴命题(1)是假命题．
(2)是全称命题．
∵任意两个等边三角形都相似∴命题(2)是真命题．
(3)是特称命题．
由于邻边相等的平行四边形是菱形，
∴命题(3)是真命题．
(4)是特称命题．
对任意x∈R，x2＋1>0，∴命题(4)是假命题.
[例3]　[解析]　(1)因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M，p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”，故选C.
(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N*，使得n＜x2”．
[答案]　(1)C　(2)D
[活学活用]
3.解析：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.
(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.
[例4]　 [解析]　法一：由题意， x∈[－1，＋∞)，
令y＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以y＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为 x∈[－1，＋∞)，ymin≥a恒成立，
而 x∈[－1，＋∞)，
由y的最小值ymin≥a，知a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令y＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)，
y≥0恒成立，所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
[活学活用]
4.解析：由于p为真，所以p为假，则p∧q为假．
又q∨(p∧q)为真，故q为真，即p假、q真．
命题p为假，即关于x的方程x2－mx＋1＝0无实数解，则m2－4<0，解得－2命题q为真，则4－4m<0，解得m>1.
故实数m的取值范围是(1,2)．
达标检测
1．答案：C　解析：根据存在量词的否定形式进行判断．
“存在”的否定是“任意”，“x>1”的否定是“x≤1”．
2．答案：D　解析：否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则p： x∈A，2x B.故选D.
3．答案：D　解析：
选项 具体分析 结论
A x∈R，ex>0 不正确
B 当x＝2时，2x＝x2 不正确
C a＋b＝0中b可取0，而＝－1中b不可取0，因此，两者不等价 不正确
D a>1，b>1 ab>1，反之不能成立 正确

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