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2.2 基本不等式导学案
【学习目标】
1.理解并掌握基本不等式及变形应用．
2.会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题.
【学习重难点】
重点： 利用基本不等式求最值．
难点： 利用基本不等式求最值时的变形转化.．
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P44～48，思考并完成以下问题
(1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？
　
(2)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？
　
(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？
　
　
预习任务二：简单题型通关
1．若a<0，则a＋(　　)
A．有最小值2　　　　　　 B．有最大值2
C．有最小值－2 D．有最大值－2
2．x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)
A. B．1
C．2 D．4
3．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使＋≥2成立的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab　　　　　 B．a＋b≥2
C. ＋> D. ＋≥2
5．已知ab＝1，a＞0，b＞0，则a＋b的最小值为________．
二、新知精讲
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥_______，当且仅当________时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当__________时，等号成立．
(3)变形：ab≤2≤，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
[点睛]　基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则≠，即只能有＜.
三、题型探究
题型一 利用基本不等式比较大小
[例1]　(1)已知m＝a＋(a>2)，n＝(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n　　　　　　　 　B．mC．m＝n D．不确定
(2) 已知a>b>c，则与的大小关系是________．
[归纳总结]
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
[活学活用]
1.已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小．
题型二 利用基本不等式证明不等式
[例2]　已知a，b，c均为正实数， 求证：＋＋≥3.
[归纳总结]
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．
[活学活用]
2.已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
题型三 利用基本不等式求最值
[例3] (1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值.
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
[归纳总结]
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
(2)常用构造定值条件的技巧变换：
①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．
[活学活用]
3．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
4．(天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
题型四 利用基本不等式解应用题
[例4]　某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
[归纳总结]
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．
(4)正确写出答案．
[活学活用]
5. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少？
四、达标检测
1．下列不等式不一定成立的是(　　)
A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
B．a2＋3＞2a(a∈R)
C．x＋≥2(x∈R)
D.≤ (a，b∈R)
2．已知a＞0，b＞0，则，，　，中最小的是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
3．已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)
A．8 B．9
C．12 D．16
4．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．
5．函数y＝(x>－1)的最小值为________．
五、本课小结
1．两个不等式
重要不等式: a2＋b2≥2ab(a，b∈R) ，“a＝b”时取“＝”
基本不等式: ≤(a＞0，b＞0) ，“a＝b”时取“＝”
2.基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
参考答案
课前预习
1．解析：∵a<0，∴－a>0，
∴－a＋≥2，∴a＋≤－2，
∴a＋有最大值－2，当且仅当a＝－1等号成立．
答案：D
2．解析：∵x2＋y2≥2xy，又x2＋y2＝4，∴xy≤2，当且仅当x＝y取等号，∴xy最大值为2.
答案：C
3．解析：由基本不等式成立条件知ab＞0；a＞0，b＞0；a＜0，b＜0都满足．
答案：C
4.解析：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，因为ab>0，所以＋≥2 ＝2.
答案：D
5．解析：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，
又ab＝1，∴a＋b≥2，
当且仅当a＝b时等号成立，
∴a＋b的最小值为2.
答案：2
新知精讲
1. 2ab a＝b
2. a＝b
题型探究
[例1]　[解析]　(1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，
所以2－b2<2，n＝<4，综上可知m>n.
(2) 因为a－b>0，b－c>0，a－c>0.
所以≤＝.
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
所以≤.
[答案]　(1)A　(2)≤
[活学活用]
1.解析：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
所以 ≥(a＋b)，
同理 ≥(b＋c), ≥(c＋a)，
所以 ＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]，
即＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
[例2]　[证明]　∵a，b，c均为正实数，
∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，
＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，
＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，
将上述三式相加得＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
∴＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．
[活学活用]
2. 证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
[例3][解析]　(1)∵m，n>0且m＋n＝16，
所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64.
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴
＝·2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
(3)∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·
＝1＋＋＋9＝＋＋10，
又∵x＞0，y＞0，
∴＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由得
即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
[活学活用]
3．解析：选C　由已知，可得6＝1，∴2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.
4．解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
答案：4
[例4]　[解析]　(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得
3 200≥2＋20xy
＝120＋20xy，
＝120＋20S.
所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
[活学活用]
5. 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．
四、达标检测
1．解析：选项C中若x＜0，则x＋＜0.∴x＋≥2不一定成立．
答案：C
2．解析：由基本不等式知
≤≤≤ .故D最小．
答案：D
3．解析：选B.由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
4．解析：由＋＋≥0，得k≥－·(a＋b)＝－，因为a>0，b>0，所以＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．因为不等式＋＋≥0恒成立，所以k≥－4.
答案：－4
5. 解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，x>－1，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
答案：0

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