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2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式导学案
【学习目标】
1．了解一元二次不等式的概念．
2．理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．
3．会解一元二次不等式.
【学习重难点】
重点： 一元二次不等式的解法和三个“二次”关系的理解．
难点： 含参数的一元二次不等式的解法.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P50～53，思考并完成以下问题
(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？
　
(2)如何求解一元二次不等式？
　
(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？
　
预习任务二：简单题型通关
1．不等式x＞x2的解集是(　　)
A．{x|x＞1}　　　　　 B．{x|x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．R
2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是(　　)
A． B．R
C．{x|x＞5} D．{x|x＜2}
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞3或x＜－2}
B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3}
D．{x|－3＜ x＜2}
4．不等式－x2＋x－2<0的解集为________．
二、新知精讲
1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 或x>x2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
三、题型探究
题型一 一元二次不等式的解法
[例1]　解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
[归纳总结]
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．　　　　　　
[活学活用]
1.已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为(　　)
A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C．{x|x≤－2或x＞3}
D．{x|x＜－2或x≥3}
题型二 三个“二次”关系的应用
[例2]　(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值为(　　)
A．14　　　　　　　　 　B．－10
C．10 D．－14
(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[归纳总结]
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式
ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．　　　　　　
[活学活用]
1．若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(x)的图象为(　　)
2．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
题型三 解含参数的一元二次不等式
[例3]　解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
[归纳总结]
解含参数的一元二次不等式时的注意点
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．　　　　　　
[活学活用]
设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
四、思想方法
分类讨论思想在解含参数不等式中的应用
[例4]　解关于x的不等式ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)．
[感悟提高]　含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：
(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．
(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．
(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论．
五、达标检测
1．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为,则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)
A. 　　　　　 B.
C．{x|－32}
2．已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1A．a＝1，b＝－2　　　　　　 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1
3．二次函数y＝x2－4x＋3在y<0时x的取值范围是________．
六、本课小结
1．一元二次不等式的有关概念
2．一元二次不等式的解法
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
参考答案
课前预习
1．解析：由x＞x2得x2－x＜0，即x(x－1)<0，解之得0答案：C
2．解析：因为Δ＝62－4×10＜0，所以不等式的解集为 .
答案：A
3．解析：二次函数的图象开口向下，故不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
答案：C
4．解析：∵Δ＝12－4×(－2)×(－1)＝－7<0，∴解集为R.
答案：R
题型探究
[例1]　 [解析]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图所示．
由图可得原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为 .
[活学活用]
1.解析：选A　∵M＝{x|x2－3x－28≤0}
＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}.
[例2]　 [解析]　(1)由已知得，
ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0.
∴,解得
∴a＋b＝－14.
[答案]　D
(2)因为x2＋px＋q＜0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得,解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，
整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
[活学活用]
1．解析：选B　因为不等式的解集为(－2,1)，所以a<0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.
2．解析：由题意知即
代入不等式cx2－bx＋a>0，
得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，解得－所以所求不等式的解集为.
[例3]　 [解析]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式解集为 ；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
[活学活用]
解析：(1)当a＝0时， 不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当－④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，即原不等式的解集为.
思想方法
[例4] [解析]　原不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0，
当a＝0时，x<1，
当a>0时，(x－1)<0，
∴－当a<0时，1＋＝，当a<－1时，
不等式为(x＋)(x－1)>0，
∴x>1或x<－.
当a＝－1时，不等式为(x－1)2>0，
∴x≠1.
当1＋<0，即－11<－，
解为x>－或x<1.
综上，当a>0时，其解集为{x| }；
当a＝0时，其解集为；
当－1当a＝－1时，其解集为；
当a<－1时，其解集为．
达标检测
1．解析：∵ax2－5x＋b>0的解集为，
∴ax2－5x＋b＝0的解是x1＝－，x2＝，
∴x1＋x2＝－＋＝，x1x2＝－×＝，
解得a＝30，b＝－5.
则不等式bx2－5x＋a>0 －5x2－5x＋30>0，
即x2＋x－6<0，解得－3答案：C
2．解析：因为不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1答案：C
3．解析：由y<0得x2－4x＋3<0，
∴1答案：{x|1

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