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2.3.2一元二次不等式的应用导学案
【学习目标】
1. 会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．
2．会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解．
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决.
【学习重难点】
重点： 有关不等式恒成立求参数的值或范围问题
难点： 对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P53～54，思考并完成以下问题
(1)怎样解分式不等式？
　
　
(2) 利用一元二次不等式解决实际问题的可分哪些步骤？
　
　　
预习任务二：简单题型通关
1．不等式>0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
3．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．－4≤a≤4 B．－4C．a≤－4或a≥4 D．a<－4或a>4
4．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
二、新知精讲
1．不等式与不等式组的同解关系
①ab≥0 或，
②ab≤0 或，
③ab >0 或，
④ab <0 或.　　
2．一元二次不等式恒成立的情况
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立 ；
②ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立 .
三、题型探究
题型一 可化为一元二次不等式的分式不等式
[例1]　解下列不等式：
(1) (2)
[归纳总结]
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[活学活用]
1．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
题型二 一元二次不等式中的恒成立问题
[例2] 　设函数y＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，函数值y<0恒成立，求m的取值范围.
[归纳总结]
一元二次不等式的解集为R的条件
不等式的解集为R(或恒成立)
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
[活学活用]
2．关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m题型三 一元二次不等式的实际应用
[例3]　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[归纳总结]
用一元二次不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
[活学活用]
3.某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
题型四 一元二次方程根的分布问题
[例4]　已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围．
[归纳总结]
设关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问题(此时Δ＝b2－4ac)：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0在内有两个实根的条件是
(2)方程ax2＋bx＋c＝0有一根大于k，另一根小于k的条件是ak2＋bk＋c<0.
(3)方程ax2＋bx＋c＝0在内有两个实根的条件是
(4)方程ax2＋bx＋c＝0的一根小于k1，另一根大于k2且k1[活学活用]
4．关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两根，一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围．
四、达标检测
1．已知A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a>0}，A∩B＝ ，则a的取值范围是(　　)
A．a＝3 B．a≥3
C．a<3 D．a≤3
2．对于x∈R，式子恒有意义，则常数m的取值范围为(　　)
A．0C．0≤m<4 D．03．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
4．已知关于x的方程x2＋(a＋1)x＋2a＝0两根均在之间，则实数a的取值范围是________．
五、本课小结
1．解分式不等式的同解变形法则
2．处理不等式恒成立问题的常用方法
3．利用一元二次不等式解决实际问题的步骤
参考答案
课前预习
1．解析：>0等价于(4x＋2)(3x－1)>0，
∴原不等式解集为.
答案：A
2．解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0∴A∩B＝{x|0答案：B
3．解析：依题意应有Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4，故选A.
答案：A
4．解析：5%<<6%，
解得x的范围是100题型探究
[例1][解析]　(1)原不等式等价于
即 －2≤x<3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．
(2)原不等式可化为－1>0，即<0.
等价于(3x－2)(4x－3)<0.
∴∴原不等式的解集为.
[活学活用]
1．解析：选A　依题意，a>0且－＝1.
>0 (ax－b)(x－2)>0 (x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0 x>2或x<－1.
[例2] 　[解析]　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为－4[活学活用]
2．解析：原不等式等价于mx2＋mx＋m－1<0，对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1<0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
m<0.
综上，m的取值范围为m≤0.
[例3]　[解析]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
[活学活用]
3.解析：设花卉带的宽度为x m(0[例4][解析]　设方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根为x1，x2.
由题意知即，
解得.
所以－[活学活用]
4．解析：因为关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0有两不同实根，所以2k≠0.又因为一个小于1，一个大于1，所以设f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则有当k>0时，f(1)<0，即2k－2－3k－2<0，整理后得k>－4，所以k>0.当k<0时，f(1)>0，即2k－2－3k－2>0，整理后得k<－4，所以k<－4.综上可得当k<－4或k>0时，方程2kx2－2x－3k－2＝0的两根，一个根小于1，一个根大于1.
达标检测
1．解析：A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a>0}＝{x|x>a}，因为A∩B＝ ，所以a≥3.故选B.
答案：B
2．解析：m＝0时，mx2＋mx＋1＝1满足题目要求，m≠0时，mx2＋mx＋1>0恒成立，需解得0答案：C
3．解析：由x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，
所以ax≥－1－x2，所以a≥－－x.
又－－x＝－≤－，所以a≥－.
即a的最小值为－.
答案：C
4．解析：依题意有：
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