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4.5.1　函数的零点与方程的解导学案
【学习目标】
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．
2.掌握函数零点存在性定理．
3.结合图象，求解零点.
【学习重难点】
重点：理解函数零点的定义，会求函数的零点．
难点：掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P142～144，思考并完成以下问题
(1)函数零点的定义是什么？
(2)函数零点存在性定理要具备哪两个条件？
(3)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？
预习任务二：简单题型通关
1．已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是(　　)
A．f(0)＝0
B．方程f(x)＝0有实根
C．函数f(x)的图象与x轴有交点
D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根
2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是1，则a＝________.
3．函数f(x)＝lg x＋的零点为________．
4．若函数f(x)＝x2－x＋a有两个零点，则a的取值范围是________．
二、新知精讲
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
[点睛]　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[点睛]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
三、题型探究
[例1]　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1) f (x)＝； (2) f (x)＝x2＋2x＋4；
(3) f (x)＝2x－3； (4) f (x)＝1－log3x.
[总结归纳]
函数零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
[活学活用]
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A. ，0　　　　　　　　 B．－2,0
C. D．0
[例2]　函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是（ ）
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
[归纳总结]
判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
[活学活用]
2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．3
[例3]　(1)f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
[归纳总结]
判断函数存在零点的3种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．　　　　
[活学活用]
3．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
4．函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
五、达标检测
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1　　　　　　　 B．，1
C．，－1 D．－，1
2．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有交点，则该函数的所有零点之和是(　　)
A．0 B．1
C．3 D．无法确定
3．二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a的取值范围是________．
4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，则直线y＝ax＋b不经过第________象限．
六、本课小结
1、函数零点的定义是什么？怎样求函数的零点？
2、零点存在性定理的内容是什么？判断函数存在零点的有哪些方法？
参考答案
课前预习
1．答案：A
2．答案：－2
3．答案：
4．答案：(－∞，)
[例1]　[解]　(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
[活学活用]
1．解析：选D　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.
[例2]　[解析]　∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln 3－＞0，
∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2,3)内有零点．
[答案]　B
[活学活用]
2．解析：选A　f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.
[例3]　(1)[解析]　当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
∴函数的零点个数为2.
[答案]　B
(2)[解]　[法一　图象法]
函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
[法二　判定定理法]
由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
[活学活用]
3．解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2＜0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
答案：0
4．解析：作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．
达标检测
1．解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝，∴函数f(x)＝2x2－3x＋1的零
点是，1.
答案：B
2．解析：∵f(x)为偶函数，∴当f(x)与x轴有一个交点(xn,0)时(xn≠0)，必有另一个交点(－xn,0)，显然所有零点之和为0.
答案：A
3．解析：由函数的二次项系数大于0可得函数图象开口向上，要满足一个零点大于1，一个零点小于1，只需f(1)<0即可．
答案：a>0
4．解析：由抛物线草图(图略)可得a>0，－>0.
所以b<0，即y＝ax＋b不经过第二象限．
答案：二

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