资源简介

4.5.2　用二分法求方程的近似解
【学习目标】
1.根据具体函数，用二分法求相应方程的近似解．
2.在用二分法求方程近似解的同时，感受近似思想，逼近思想等数学思想的含义和作用.
【学习重难点】
重点：用二分法求方程近似解．
难点：判断方程的解所在的区间.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P144～146，思考并完成以下问题
(1)二分法的定义是什么？用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？
(2)利用二分法求方程的近似解时，函数零点所在的区间应满足什么条件？如何根据精确度确定符合要求的近似值？
预习任务二：简单题型通关
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
2．用二分法求函数f(x)＝log2x－的零点时，初始区间可选为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a，b)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
二、新知精讲
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[点睛]　二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.
第二步，求区间(a，b)的中点c.
第三步，计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．
三、题型探究
[例1]　下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)
[归纳总结]
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[活学活用]
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4　　　　　　 B．3,4
C．5,4 D．4,3
[例2]　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
[一题多变]
1．[变条件]若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？
2．[变条件]若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1”其结论又如何呢？
[归纳总结]
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
四、易错误区
用二分法求方程的近似解因区间分得不够而致误
[典例]　用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)．
[易错警示]
错误原因 纠错心得
对精确度的理解不正确，错误地认为精确度ε满足的关系式为|f(a)－f(b)|＜ε. 精确度ε应满足的关系式是|a－b|＜ε.
五、达标检测
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a、b、c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是(　　)
A．(－3，－1)和(2,4)　 B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
2．如下四个函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　)
3．方程log3x＋x＝3的解所在区间是________．
4．用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么它一个有根的区间是________．
六、本课小结
1、二分法的定义是什么？
2、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤有哪些？
3、如何根据精确度确定符合要求的近似值？
参考答案
课前预习
1．答案：A
2．答案：C
3．答案：(2,2.5)
4．答案：(2,3)
[例1]　[解析]　A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.
[答案]　C
[活学活用]
1.解析：选D　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.
[例2]　[解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
[一题多变]
1．解析：在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．
2．解析：设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，∴2再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0 x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0 x0∈(2.375,2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
易错误区
[错解]　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16＜0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25.
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．
同理可得x0∈(2.225,2.25)，x0∈(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8＜0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.225.
[正解]　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
达标检测
1．解析：∵f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，
∴选A.
答案：A
2．解析：由于用二分法求零点的使用条件为“变号零点”，而B中零点为不变号零点，不宜用二分法求．
答案：B
3．解析：构造f(x)＝log3x＋x－3，∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
4．解析：令f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝8－4－5＝－1<0，f(2.5)＝x(x2－2)－5＝2.5×4.25－5>0，f(2)·f(2.5)<0，故方程的根在区间(2,2.5)内．
答案：(2,2.5)

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