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4.5.3　函数模型的应用导学案
【学习目标】
1. 指数、对数函数模型在实际问题中的应用．
2．了解拟合函数模型，根据实际问题建立函数模型并解决实际问题
【学习重难点】
重点：会利用已知函数模型解决实际问题．
难点：能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P148～154，思考并完成以下问题
(1) 指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
(2) 解决实际问题的基本过程是什么？
预习任务二：简单题型通关
1．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　)
A．300只　 B．400只
C．500只 D．600只
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．
二、新知精讲
1．指数函数型模型
(1)表达形式:f(x)=abx+c.
(2)条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1.
2．对数函数型模型
(1)表达形式:f(x)=mlogax+n.
(2)条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1.
3. 建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
点睛：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
(
指数型函数模型的应用
)三、题型探究
[例1]　一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[方法总结]
指数函数模型问题的求解策略
(1)对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．
(2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数．
[活学活用]
1、某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了.
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
(
对数型函数模型的应用
解
)
[例2]大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
[一题多变]
(变问法)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
[归纳总结]
对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　
[活学活用]
2、在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的____________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
题型三 拟合数据构建函数模型解决实际问题
[例3]　某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
[思路点拨]　→
[归纳总结]
函数拟合与预测的一般步骤：
1根据原始数据、表格，绘出散点图.
2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.
3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
[活学活用]
3、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
四、达标检测
1．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　)
A．600元 B．50%
C.－1 D.＋1
2．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　)
A．60安 B．240安
C．75安 D．135安
3．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．　
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
五 、本课小结
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．
2．解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
参考答案
课前预习
1．解析：选A.由题意可得a＝100.当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
2．解析：选D.经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
3．解析：由
得
所以y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为
y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75万件
题型探究
[例1]　解析：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，
即＝，则＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，则≥，则≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
[活学活用]
1、解析：(1)根据题意，得p0＝p0e－k，
所以e－k＝，所以p(t)＝p0.
(2)由p(t)＝p0≤p0，得≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg 2)≥3，所以t≥30.因此，至少还需过滤30个小时．
[例2]解析：　(1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，
v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，
即log3 －log3＝1，
得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
[一题多变]
(变问法)解析：(1)将θ＝8 100代入函数解析式，
得v＝log381＝×4＝2 (m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.
(2)令v＝0，得log3＝0，即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．
[活学活用]
2、解析：当v＝12 000米/秒时，
2 000·ln＝12 000，
所以ln＝6，所以＝e6－1.
答案：e6－1
[例3]　[解析]　(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得
∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
[活学活用]
3、[解析]　(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
达标检测
1．解析：选C.设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝－1.
2．解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
3．解析：(1)由题意知，当0≤x≤8时，y＝0.15x；
当x>8时，
y＝8×0.15＋log5(2x－15)
＝1.2＋log5(2x－15)，所以
y＝
(2)由题意知1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20.所以，小江的销售利润是20万元．

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