资源简介

5.1.1　任意角导学案
【学习目标】
1．理解正角、负角、零角与象限角的概念．
2．掌握终边相同角的表示方法．
【学习重难点】
重点： 正角、负角、零角与象限角的概念．
难点：终边相同角的表示方法.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P168～171，思考并完成以下问题
(1)正角、负角、零角是怎样规定的？
(2)终边相同的角如何表示？
(3) 象限角与终边落在坐标轴上的角如何规定的？
预习任务二：简单题型通关
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　　)
(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　)
(3)终边相同的角的表示不唯一．(　　)
2．时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________．　
3．下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为________(把错误的序号都写上)．
二、新知精讲
1．任意角的概念
①角的概念：角可以看成平面内_________绕着端点从一个位置_____到另一个位置所形成的图形．
②角的表示：如图1－1－1，
(1)始边：射线的_____位置OA，
(2)终边：射线的_____位置OB，
(3)顶点：射线的_____O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
③角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：
正角 按_________方向旋转形成的角
零角 射线_____作任何旋转形成的角
负角 按_________方向旋转形成的角
2. 象限角与轴线角
①象限角：以角的_____为坐标原点，角的_____为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
②如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
3.终边相同的角
①前提：α表示任意角．
②表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_____________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个_____的和．
三、题型探究
题型一 任意角的概念
例1　(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C B．A C
C．A∩C＝B D．B∪C C
(2)下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
[方法总结]
1．判断角的概念问题的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．常见360°的倍数如下：
1×360°＝360°，2×360°＝720°，
3×360°＝1 080°，
4×360°＝1 440°，
5×360°＝1 800°.
[活学活用]
1．有下列说法：
①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②终边相同的角一定相等；
③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z)．
其中正确说法的序号是________．
题型二 象限角与区域角的表示
例2　(1)如图终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　)
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．
[方法总结]
表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
[活学活用]
2．写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．
四、易错误区
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究1　由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
探究2　若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
例3　(1)若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
(3)本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？
[易错警示]　
1．解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论．
2．一般地，要确定所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把4n个区域依次标上号码1、2、3、4，则标号是n的区域就是α为第几象限时，的终边也可能落在区域．
五、达标检测
1．若α是第一象限角，则－是(　　)
A．第一象限角　　　 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
2．与－457°角终边相同的角的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
3．下列各角中，与角330°的终边相同的角是(　　)
A．510° B．150°
C．－150° D．－390°
4．若角α与角β终边相同，则α－β＝________．
六、本课小结
参考答案
课前预习
1．【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
2．【答案】　－30°
3．【答案】　①②③④
新知精讲
1.一条射线 旋转
2.开始 终止 端点
3. 逆时针 没有 顺时针
4、顶点 始边
5、α＋k·360°，k∈Z 周角
题型探究
[例1][解析]　(1)第一象限角可表示为k·360°<α(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
[答案]　(1)D　(2)B
[活学活用]
1.　①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；
②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)．
③正确．因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z)．
【答案】　③
[例2][解析]　　(1)在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α【答案】　C
(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}．
集合A可以化为
{β|2m×180°＋60°≤β<2m＋180°＋105°，m∈Z}．
故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β[活学活用]
2.[解析]　　在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
易错误区
探究1 (1)画图法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
(2)代数推导法：运用代数式一步一步推理．如：当角α在第二象限时，90＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
探究2 (1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
例3 解析：(1)因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角．
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°.
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
当k为偶数时，
不妨令k＝2n，n∈Z，
则45°＋n·360°<<90°＋n·360°.
此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，
则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，
此时，为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
达标检测
1．解析：因为α是第一象限角，所以为第一、三象限角，所以－是第二、四象限角．
答案：D
2．解析：当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.
答案：C
3．解析：与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D．
答案：D
4、解析：根据终边相同角的定义可知：
α－β＝k·360°(k∈Z)．
答案：k·360°(k∈Z)

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