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5.2.2　同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．
2.理解同角三角函数的基本关系式．
3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
【学习重难点】
重点：熟记并理解同角三角函数的基本关系．
难点：同角三角函数基本关系及其变形的应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P182～184，思考并完成以下问题
(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？
(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？
预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．(　　)
(2)对任意角α，＝tan 2α都成立．(　　)
(3)若cos α＝0，则sin α＝1.(　　)
2．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
3．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
4．已知sin α＝，α∈，则tan α＝________.
二、新知精讲
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan_α＝.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
[点睛]　(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
三、题型探究
题型一 利用同角基本关系式求值
[例1]　(1)已知tan α＝2，则
①＝________；
②＝________；
③4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________.
(2)已知sin α＝，求cos α，tan α的值．
[归纳总结]
1．求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
[活学活用]
1．已知cos α＝－，求sin α和tan α.
2．已知tan α＝2，试求的值．
题型二 三角函数式的化简
[例2]　化简下列各式：
(1)；
(2) ＋ .
[归纳总结]
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
3. 化简：(1)· ；
(2) .
题型三 证明简单的三角恒等式
[典例]　求证：＝.
[归纳总结]
证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1.
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
[活学活用]
4. 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
题型四 sin α±cos α与sin α cos α关系的应用
[例4]　已知sin α＋cos α＝，求：
(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α；(3)sin3α＋cos3α.
[归纳总结]
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
④(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.
[活学活用]
5．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．
6．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ.
四、达标检测
1．化简 的结果是(　　)
A．cos 　　　　　　　　 B．sin
C．－cos D．－sin
2．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
3．已知tan θ＝2，则＝________.
4．求证：＝.
五、本课小结
1.同角三角函数的基本关系有哪些？怎样利用同角基本关系式求值？
2.三角函数式的化简有哪些方法？
参考答案
课前预习
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．答案：A
3．答案：D
4．答案：－
题型探究
[例1]　[解析]　(1)①注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的一次齐次式，可将分子分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值．
则＝＝＝3.
②注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的二次齐次式，分子分母同除以cos2α(∵cos2α≠0)，
则＝＝＝.
③似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到sin2α＋cos2α＝1，则有4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝，
这样便使得分子分母均为二次齐次式．
同②有＝＝＝1.
答案：①3　②　③1
(2)∵sin α＝>0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝＝ ＝，tan α＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.
[活学活用]
1．解析：sin2α＝1－cos2α＝1－2＝，
因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.
2．解析：由tan α＝2可得sin α＝2cos α，
故＝＝＝.
[例2]　[解]　(1)原式＝
＝＝＝－1.
(2)原式＝ ＋
＝ ＋
＝＋.
∵α∈，∴∈，
∴cos－sin>0，cos＋sin>0，
∴原式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
[活学活用]
3. 解析：(1)原式＝·
＝·
＝·＝±1.
(2)原式＝
＝
＝＝1.
[例3]　[证明]　[法一　直接法]
左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴原等式成立．
[法二　左右归一法]
左边＝＝，
右边＝＝
＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[法三　比较法]
∵－
＝
＝
＝
＝
＝
＝0，
∴＝.
法四：(综合法)∵(tan α－sin α)(tan α＋sin α)
＝tan2α－sin2α
＝tan2α－tan2α·cos2α
＝tan2α(1－cos2α)
＝tan2α·sin2α，
∴＝.
[活学活用]
4.证明：由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝，
即＝，
故有＝＝×，
整理得＝，
即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)，
展开得sin2β＝sin2α－，即sin2β＝2sin2α－1.
[例4]　[解]　(1)由sin α＋cos α＝，
平方得2sin αcos α＝－，
∴sin αcos α＝－.
(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，
∴sin α－cos α＝±.
(3)∵sin3α＋cos3α
＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α)
＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，
由(1)知sin αcos α＝－，且sin α＋cos α＝，
∴sin3α＋cos3α＝×＝×＝.
[活学活用]
5．解析：∵sin θ－cos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝.
解得sin θcos θ＝.
∵0<θ<π，且sin θ·cos θ＝>0，
∴sin θ>0，cos θ>0.
∴sin θ＋cos θ＝＝
＝ ＝.
由得
∴tan θ＝＝.
6．解析：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0，
∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0.
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝ ＝.
达标检测
1．解析：∵∈，
∴ ＝＝sin .
答案：B
2．解析：由题意知θ∈(0，π)，所以sin θ－cos θ>0，
sin θ－cos θ＝＝＝.
答案：D
3．解析：＝＝＝－3.
答案：－3
4．证明：因为－
＝
＝＝＝0，
所以＝.

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