资源简介

5.3.1　诱导公式(一)导学案
【学习目标】
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
2.理解诱导公式的推导过程．
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
【学习重难点】
重点：1.理解诱导公式的推导过程．
2.能归纳出诱导公式一～四的特点并熟记公式，能应用诱导公式解决问题．
难点：借助单位圆，根据角的终边的对称性推导诱导公式二～四.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P188～190，思考并完成以下问题
(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
(2)诱导公式的内容是什么？
(3)诱导公式一～四有哪些结构特征？
预习任务二：简单题型通关
1．计算sin 的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
2．已知sin α＝，则sin(π－α)＝________.
3．若tan(π＋α)＝，则tan α＝________.
二、新知精讲
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于 轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于 轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sinα，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
三、题型探究
题型一 给角求值问题
[例1]　求下列各三角函数值：
(1)sin； (2)cos； (3)tan(－855°)．
[归纳总结]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用]
1、计算：(1)tan＋tan＋tan＋tan；
(2)sin(－60°)＋cos 225°＋tan 135°.
题型二 化简求值问题
[例2]　化简：(1)；
(2).
[归纳总结]
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[活学活用]
2、化简下列各式：
(1)；
(2)(n∈Z)．
题型三 给值（或式）求值问题
[例3]　已知cos＝，求cos的值．
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求：
(1)cos的值；
(2)sin2的值．
2．[变条件]若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，求cos的值．
3．[变条件，变设问]已知tan＝，求tan的值．
[归纳总结]
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
四、达标检测
1．已知sin ＝，则sin 的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
2．下列三角函数，其中n∈Z：
①sin ；②cos ；③sin ；④cos ，其中与sin 的值相同的是______(填序号)．
3．化简.
五、本课小结
1.诱导公式的内容是什么？利用诱导公式一～四化简应注意哪些问题？
2.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤？
参考答案
课前预习
1．解析：sin ＝－sin ＝－.
答案：C
2．解析：因为sin(π－α)＝sin α＝，
所以sin(π－α)＝.
答案：
3．解析：因为tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝tan(π＋α)＝.
答案：
题型探究
[例1]　[解]　(1)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－.
(2)cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan＝－tan 855°＝－tan＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.
[活学活用]
1、解析：(1)原式＝tan＋tan＋tan＋tan
＝tan＋tan－tan－tan
＝0.
(2)原式＝－sin 60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－－cos 45°－tan 45°
＝－－－1
＝－.
[例2]　[解]　(1)＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝＝－1.
[活学活用]
2、解析：(1)原式＝
＝
＝
＝.
(2)法一：当n＝2k，k∈Z时，
原式＝＝＝.
当n＝2k＋1，k∈Z时，原式＝
＝
＝
＝－.
所以原式＝
法二：原式＝＝(－1)n.
[例3]　[解]　cos＝cos
＝－cos＝－.
[一题多变]
1．解析：(1)cos＝cos＝cos＝.
(2)sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－（）2＝.
2．解析：因为α∈，则α－∈.
所以cos＝－cos＝－cos
＝ ＝ ＝.
3．解析：tan＝－tan
＝－tan＝－.
达标检测
1．解析：因为＋＝π，
所以sin ＝sin[π－]
＝sin ＝.
答案：C
2．解析：sin ＝
cos ＝cos ＝sin ；
sin ＝sin ；
cos ＝cos ，所以应填②③.
答案：②③
3．解析：原式＝
＝
＝
＝－cos2 α.

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