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5.4.1正弦函数、余弦函数的图象导学案
【学习目标】
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正、余弦曲线．
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
【学习重难点】
重点：
1.利用“五点法”画正、余弦函数的图象．
2.正、余函数图象之间的区别与联系．
难点：利用平移正弦线的方法得到正弦函数图象.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P196～200，思考并完成以下问题
(1)如何把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象变换为y＝sin x，x∈R的图象？
(2)如何利用诱导公式把y＝sin x的图象变换为y＝cos x的图象？
(3)正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．(　　)
(2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．(　　)
(3)函数y＝sin x，x∈的图象与函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．(　　)
2．对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是(　　)
A．向左右无限伸展
B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
3．函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象(　　)
A．关于x轴对称　　　　　 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称
4．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表.
x 0 ① 2π
－sin x ② －1 0 ③ 0
①________；②________；③________.
二、新知精讲
正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象 画法 五点法 五点法
关键 五点 (0,0)，，(π，0)， ，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)， ，(2π，1)
[点睛]　“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
三、题型探究
题型一 用“五点法”作简图
[例1]　用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
[归纳总结]
用五点法作函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下：
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x(或cos x)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
[活学活用]
1、利用“五点法”作出函数y＝sin的图象．
题型二 正、余弦函数图象的简单应用
[例2]　利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin x≥；(2)cos x≤.
[归纳总结]
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[活学活用]
2、函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________．
四、达标检测
1．对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有(　　)
A．0个　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
2．方程x＋sin x＝0的根有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
3．已知cos x≥且x∈[0,2π]，求x的取值范围．
五、本课小结
1.正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
2.用五点法作函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤？
3.用三角函数图象解三角不等式的步骤有哪些？
参考答案
课前预习
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
答案：(1)√　(2)√　(3)√
2．答案：D
3．答案：A
4．答案：π　0 1 　
题型探究
[例1][解]　(1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点连线，如图所示．
(2)列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点连线，如图所示．
活学活用
1. 解析：列表如下：
x π 2π
x－ 0 π 2π
sin 0 1 0 －1 0
描点连线，如图所示．
[例2]　[解]　(1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
活学活用
2. 解析：要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.结合正弦曲线，如图所示，
可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为.
答案：
达标检测
1．解析：如图所示为y＝cos x的图象．
可知三项描述均正确．
答案：D
2．解析：设f(x)＝－x，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sin x＝0仅有一个根．
答案：B
3．解析：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示，
由图象可以看出满足cos x≥的自变量x的取值范围是∪.

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