资源简介 5.4.2正弦、余弦函数的单调性与最值的导学案【学习目标】1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.【学习重难点】重点:单调性与最值的求法.难点:求y=Asin(ωx+φ)的单调区间.【学习过程】一、课前预习预习任务一:知识预习预习课本P204~207,思考并完成以下问题(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么?(2)正、余弦函数的最值分别是多少?取最值时自变量x的值是多少?预习任务二:简单题型通关1.下列函数在区间[0,π]上是单调函数的是( )A.y=sin x B.y=cos 2xC.y=sin 2x D.y=cos x2.利用函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反,直接写出y=-cos x的单调递减区间是________;单调递增区间是________.3.已知函数f(x)=2sin x-1,当且仅当x=________时,f(x)有最大值________;当且仅当x=________时,f(x)有最小值________.二、新知精讲正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数图象值域 [-1,1] [-1,1]单调性 在(k∈Z)上递增,在 (k∈Z)上递减 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上递增 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减最值 x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ +π(k∈Z)时,ymin=-1[点睛] (1)正弦函数、余弦函数有单调区间,但都不是定义域上的单调函数,即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调.(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.三、题型探究题型一 正、余弦函数的单调性[例1] (1)求函数y=3sin的单调递减区间;(2)求函数y=-2cos的单调区间;(3)求函数y=|sin x|的单调递增区间.[归纳总结]与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.[活学活用]1、求y=cos的单调增区间.题型二 三角函数值的大小比较[例2] 比较下列各组数的大小:(1)sin 250°与sin 260°; (2)cos与cos.[归纳总结]比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.[活学活用]2、比较下列各组数的大小:(1)sin 194°与cos 160°;(2)cos,sin,-cos;(3)sin,sin.题型三 正、余弦函数的最值题点一:形如y=asin x(或y=acos x)型1.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=________.题点二:形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b型2.求函数y=3-4cos,x∈的最大、最小值及相应的x值.题点三:形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C型3.求y=cos2x-sin x,x∈的最值.[归纳总结]三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数,余弦函数的有界性,注意对a正负的讨论.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值.(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定. 四、达标检测1.下列关系式中正确的是( )A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°2.下列函数,在上是增函数的是( )A.y=sin x B.y=cos xC.y=sin 2x D.y=cos 2x3.求函数y=cos(x-)在[0,]上的单调递增区间.五、本课小结1.正、余弦函数的单调区间分别是什么?正、余弦函数的最值分别是多少?取最值时自变量x的值是多少?2.求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的单调区间的一般步骤?3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法?参考答案课前预习1.解析:由y=cos x的图象知,在[0,π]上递减,选 D.答案:D2.解析:因为y=cos x与y=-cos x的单调性相反,所以y=-cos x的单调递减区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),单调递增区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).答案:[-π+2kπ,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)3.解析:由正弦函数y=sin x的最值可知,当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,f(x)=2sin x-1有最大值1;当且仅当x=-+2kπ(k∈Z)时,f(x)=2sin x-1有最小值-3.答案:+2kπ(k∈Z) 1 -+2kπ(k∈Z) -3题型探究[例1] [解] (1)∵y=3sin=-3sin,∴y=3sin是增函数时,y=3sin是减函数.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴函数y=3sin的单调递减区间为,k∈Z.(2)令u=2x+,函数y=2cos u在u∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z时单调递减,由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函数y=-2cos的单调递增区间为,k∈Z.函数y=2cos u在u∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z时单调递增,由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,故函数y=-2cos的单调递减区间为,k∈Z.(3)画出y=|sin x|图象如图所示,可知函数的单调递增区间为(k∈Z).[活学活用]1.解析:因为y=cos=cos,所以令π+2kπ≤2x-≤2π+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数y=cos的单调增区间为,k∈Z.[例2] [解] (1)∵函数y=sin x在上单调递减,且90°<250°<260°<270°,∴sin 250°>sin 260°.(2)cos=cos=cos,cos=cos=cos.∵函数y=cos x在[0,π]上单调递减,且0<<<π,∴cos>cos,∴cos>cos.[活学活用]2. 解析:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°∴-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°.(2)∵sin=cos≈cos 1.47,-cos=cos≈cos 1.39,cos=cos 1.5,而y=cos x在[0,π]上是减函数,故由0<1.39<1.47<1.5<π,可得cos 1.5(3)∵cos=sin,∴0而y=sin x在(0,1)上单调递增,∴sin题点一:形如y=asin x(或y=acos x)型1.解析:当a>0时,得当a<0时,得所以ab=±2.答案:±2题点二:形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b型2.解析:因为x∈,所以2x+∈,从而-≤cos≤1.所以当cos=1,即2x+=0,x=-时,ymin=3-4=-1.当cos=-,即2x+=,x=时,ymax=3-4×=5.综上所述,当x=-时,ymin=-1;当x=时,ymax=5.题点三:形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C型3.解析:y=cos2x-sin x=1-sin2x-sin x=-2+.因为-≤x≤,-≤sin x≤,所以当x=-,即sin x=-时,函数取得最大值,ymax=;当x=,即sin x=时,函数取得最小值,ymin=-.达标检测1.解析:∵sin 168°=sin(180°-168°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°,sin 11°答案:C2.解析:因为y=sin x与y=cos x在上都是减函数,所以排除A,B. 因为≤x≤π,所以π≤2x≤2π.因为y=sin 2x在2x∈[π,2π]内不具有单调性,所以排除C.答案:D3.解析:由2kπ-π≤x-≤2kπ(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),∵x∈[0,],∴0≤x≤,即所求的单调递增区间为[0,]. 展开更多...... 收起↑ 资源预览