人教A版(2019)数学必修第一册5_4_2正弦、余弦函数的单调性与最值导学案(含答案)

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人教A版(2019)数学必修第一册5_4_2正弦、余弦函数的单调性与最值导学案(含答案)

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5.4.2正弦、余弦函数的单调性与最值的导学案
【学习目标】
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.
【学习重难点】
重点:单调性与最值的求法.
难点:求y=Asin(ωx+φ)的单调区间.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一:知识预习
预习课本P204~207,思考并完成以下问题
(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么?
(2)正、余弦函数的最值分别是多少?取最值时自变量x的值是多少?
预习任务二:简单题型通关
1.下列函数在区间[0,π]上是单调函数的是(  )
A.y=sin x         B.y=cos 2x
C.y=sin 2x D.y=cos x
2.利用函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反,直接写出y=-cos x的单调递减区间是________;单调递增区间是________.
3.已知函数f(x)=2sin x-1,当且仅当x=________时,f(x)有最大值________;当且仅当x=________时,f(x)有最小值________.
二、新知精讲
正弦函数、余弦函数的图象和性质
  正弦函数 余弦函数
图象
值域 [-1,1] [-1,1]
单调性 在(k∈Z)上递增,在 (k∈Z)上递减 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上递增 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减
最值 x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ +π(k∈Z)时,ymin=-1
[点睛] (1)正弦函数、余弦函数有单调区间,但都不是定义域上的单调函数,即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调.
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.
三、题型探究
题型一 正、余弦函数的单调性
[例1] (1)求函数y=3sin的单调递减区间;
(2)求函数y=-2cos的单调区间;
(3)求函数y=|sin x|的单调递增区间.
[归纳总结]
与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.
[活学活用]
1、求y=cos的单调增区间.
题型二 三角函数值的大小比较
[例2] 比较下列各组数的大小:
(1)sin 250°与sin 260°; (2)cos与cos.
[归纳总结]
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.
[活学活用]
2、比较下列各组数的大小:
(1)sin 194°与cos 160°;
(2)cos,sin,-cos;
(3)sin,sin.
题型三 正、余弦函数的最值
题点一:形如y=asin x(或y=acos x)型
1.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=________.
题点二:形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b型
2.求函数y=3-4cos,x∈的最大、最小值及相应的x值.
题点三:形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C型
3.求y=cos2x-sin x,x∈的最值.
[归纳总结]
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数,余弦函数的有界性,注意对a正负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值.
(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.    
四、达标检测
1.下列关系式中正确的是(  )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°2.下列函数,在上是增函数的是(  )
A.y=sin x       B.y=cos x
C.y=sin 2x D.y=cos 2x
3.求函数y=cos(x-)在[0,]上的单调递增区间.
五、本课小结
1.正、余弦函数的单调区间分别是什么?正、余弦函数的最值分别是多少?取最值时自变量x的值是多少?
2.求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的单调区间的一般步骤?
3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法?
参考答案
课前预习
1.解析:由y=cos x的图象知,在[0,π]上递减,选 D.
答案:D
2.解析:因为y=cos x与y=-cos x的单调性相反,
所以y=-cos x的单调递减区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),
单调递增区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).
答案:[-π+2kπ,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
3.解析:由正弦函数y=sin x的最值可知,当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,f(x)=2sin x-1有最大值1;当且仅当x=-+2kπ(k∈Z)时,f(x)=2sin x-1有最小值-3.
答案:+2kπ(k∈Z) 1 -+2kπ(k∈Z) -3
题型探究
[例1] [解] (1)∵y=3sin=-3sin,
∴y=3sin是增函数时,y=3sin是减函数.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴函数y=3sin的单调递减区间为,k∈Z.
(2)令u=2x+,函数y=2cos u在u∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z时单调递减,
由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故函数y=-2cos的单调递增区间为
,k∈Z.
函数y=2cos u在u∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z时单调递增,
由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,
故函数y=-2cos的单调递减区间为
,k∈Z.
(3)画出y=|sin x|图象如图所示,可知函数的单调递增区间为(k∈Z).
[活学活用]
1.解析:因为y=cos=cos,
所以令π+2kπ≤2x-≤2π+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数y=cos的单调增区间为,k∈Z.
[例2] [解] (1)∵函数y=sin x在上单调递减,且90°<250°<260°<270°,
∴sin 250°>sin 260°.
(2)cos=cos=cos,
cos=cos=cos.
∵函数y=cos x在[0,π]上单调递减,
且0<<<π,
∴cos>cos,∴cos>cos.
[活学活用]
2. 解析:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°∴-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°.
(2)∵sin=cos≈cos 1.47,
-cos=cos≈cos 1.39,cos=cos 1.5,
而y=cos x在[0,π]上是减函数,
故由0<1.39<1.47<1.5<π,可得cos 1.5(3)∵cos=sin,∴0而y=sin x在(0,1)上单调递增,
∴sin题点一:形如y=asin x(或y=acos x)型
1.解析:当a>0时,得
当a<0时,得
所以ab=±2.
答案:±2
题点二:形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b型
2.解析:因为x∈,
所以2x+∈,
从而-≤cos≤1.
所以当cos=1,即2x+=0,x=-时,ymin=3-4=-1.
当cos=-,即2x+=,x=时,ymax=3-4×=5.
综上所述,当x=-时,ymin=-1;当x=时,ymax=5.
题点三:形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C型
3.解析:y=cos2x-sin x=1-sin2x-sin x=-2+.
因为-≤x≤,-≤sin x≤,
所以当x=-,即sin x=-时,函数取得最大值,ymax=;
当x=,即sin x=时,函数取得最小值,ymin=-.
达标检测
1.解析:∵sin 168°=sin(180°-168°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°,sin 11°答案:C
2.解析:因为y=sin x与y=cos x在上都是减函数,所以排除A,B. 因为≤x≤π,所以π≤2x≤2π.因为y=sin 2x在2x∈[π,2π]内不具有单调性,所以排除C.
答案:D
3.解析:由2kπ-π≤x-≤2kπ(k∈Z),
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
∵x∈[0,],∴0≤x≤,
即所求的单调递增区间为[0,].

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