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5.4.3　正弦、余弦函数的周期性与奇偶性导学案
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
【学习重难点】
重点：正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性．
难点：正弦函数、余弦函数的周期性及应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P201～203，思考并完成以下问题
(1)周期函数的定义是什么？
(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？
(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于sin＝sin，则是正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　)
(2)若T是函数 (x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　)
(3)函数y＝3sin 2x是奇函数．(　　)
(4)函数y＝－cos x是偶函数．(　　)
2．函数 (x)＝2sin是(　　)
A．T＝2π的奇函数　　　　 B．T＝2π的偶函数
C．T＝π的奇函数 D．T＝π的偶函数
3．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
4．函数 (x)＝sin xcos x是______(填“奇”或“偶”)函数．
二、新知精讲
1．周期函数
(1)周期函数的概念
条件 对于函数 (x)，存在一个非零常数T
当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论 函数 (x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
(2)最小正周期
条件 周期函数 (x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论 这个最小正数叫做 (x)的最小正周期
[点睛]　对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数 (x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是 (x)的周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
三、题型探究
题型一 三角函数的周期
[例1]　求下列函数的最小正周期．
(1) (x)＝cos；(2) (x)＝|sin x|.
[归纳总结]
求三角函数的周期的方法
(1)正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的．
(2)求三角函数的周期，通常有三种方法：
①定义法．
②公式法．对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝；
③观察法(图象法)．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.
[活学活用]
1.求下列函数的最小正周期．
(1)y＝3sin；
(2)y＝|cos x|.
题型二 三角函数的奇偶性
[例2]　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝xsin；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝sin.
[归纳总结]
判断函数奇偶性的方法
[活学活用]
2.判断下列函数的奇偶性．
(1) (x)＝x2cos；
(2) (x)＝sin(cos x)．
题型三 三角函数的奇偶性与周期性的应用
[例3]　定义在R上的函数 (x)既是偶函数又是周期函数，若 (x)的最小正周期是π，且当x∈时， (x)＝sin x，求 的值．
[一题多变]
1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求 的值．
2．[变设问]若本例条件不变，求 的值．
3．[变条件]若本例条件为：函数 (x)为偶函数且 ＝－ (x)， ＝1，求 的值．
[归纳总结]
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
四、达标检测
1．函数y＝cos x，x∈是(　　)
A．偶函数　　　　　　　 B．奇函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
2．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)
A．－　　　B.　　　C．－　　　 D.
3．作出函数f(x)＝的图象，并求f(x)的最小正周期．
五、本课小结
1.周期函数的定义是什么？正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
2.求三角函数的周期的方法？
3.判断函数奇偶性的方法？
参考答案
课前预习
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．答案：B
3．答案：D
4．答案：奇
题型探究
[例1]　[解]　(1)[法一　定义法]
∵ (x)＝cos＝cos
＝cos＝ (x＋π)，
即 (x＋π)＝ (x)，
∴函数 (x)＝cos的周期T＝π.
[法二　公式法]
∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函数 (x)＝cos的周期T＝π.
(2)[法一　定义法]
∵ (x)＝|sin x|,
∴ (x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ (x)，
∴ (x)的周期为π.
[法二　图象法]
∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
[活学活用]
1.解析：(1)∵T＝＝4，
∴y＝3sin的周期为4.
(2)函数y＝|cos x|的图象如图所示，
由图象知T＝π.
[例2]　[解析]　(1)函数f(x)＝xsin的定义域为R.
∵f(x)＝xsin＝xcos x，
∴f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)函数应满足1＋sin x≠0，
∴函数的定义域为.
∵函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(3)f(x)＝sin＝－cos 2x，定义域为R.
∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
[活学活用]
2.[解]：(1)函数 (x)的定义域为R，
∵f(x)＝x2cos＝－x2sin x，
∴f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)，
∴ (x)为奇函数．
(2)函数 (x)的定义域为R，
∴ (－x)＝sin＝sin(cos x)＝ (x)，
∴ (x)为偶函数.
[例3]　[解]　∵ (x)的最小正周期是π，
∴ ＝ ＝
∵ (x)是R上的偶函数，
∴ ＝ ＝sin＝.
∴ ＝.
[一题多变]
1．解析： ＝ ＝－
＝－sin＝－.
2．解析： ＝ ＝
＝ ＝sin ＝.
3．解析：∵ ＝－ (x)，
∴ (x＋π)＝ (x)，即T＝π，
＝ ＝ ＝ ＝1.
达标检测
1．解析：定义域不关于原点对称，不满足奇偶性定义，故为非奇非偶函数．
答案：C
2．解析：因为f(x)的最小正周期为π且为偶函数，所以f＝f＝f＝sin ＝.
答案：B
3．解析：将f(x)＝化为f(x)＝|sin x|，
因为f(x)＝|sin x|
＝
所以作出f(x)＝的图象如图所示．
由图象可知f(x)的最小正周期为π.

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