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5.4.4正切函数的性质与图象导学案
【学习目标】
1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
【学习重难点】
重点：画出正切函数的图象．
难点：正切函数性质及应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P209～212，思考并完成以下问题
(1)正切函数有哪些性质？
(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？
预习任务二：简单题型通关
1．y＝tan(x＋π)是(　　)
A．奇函数　　　　　　　　　　 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．函数f(x)＝tan 的定义域是________，f＝________.
3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
二、新知精讲
正切函数y＝tan x的性质与图象
y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期 最小正周期为π
奇偶性 奇函数
单调性 在开区间(k∈Z)内递增
[点睛]　(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数．
(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．
三、题型探究
题型一 正切函数的定义域
[例1]　求下列函数的定义域．
(1)y＝tan； (2)y＝ln(tan x)．
[归纳总结]
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
[活学活用]
1、求函数y＝的定义域．
题型二 与正切函数有关的周期性、奇偶性与对称性
[例2]　关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
[归纳总结]
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性、对称性问题
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)对称性的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．
(3)易忽视正切曲线只有对称中心．
[活学活用]
2．函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．π D．2π
3．函数y＝3tan 2x的对称中心为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．(kπ，0)(k∈Z)
题型三 正切函数的单调性及应用
题点一：求单调区间
1．求函数y＝tan的单调区间．
题点二：比较大小
2．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)tan与tan；
(2)tan与tan.
题点三：求值域或最值
3．求函数y＝tan，x∈∪的值域．
[归纳总结]
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
四、达标检测
1．y＝tan 定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
2．函数y＝tan 的单调增区间为(　　)
A.，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
3．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是(　　)
(1)在上单调递减；
(2)最小正周期为2π；
(3)是奇函数．
A．y＝tan x　　　　　 B．y＝cos x
C．y＝sin(x＋3π) D．y＝sin 2x
4．函数y＝|tan x|的周期为________．
五、本课小结
1.正切函数有哪些性质？
2.求正切函数定义域的方法？
3.求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法？
参考答案
课前预习
1．解析：因为y＝tan(x＋π)＝tan x，
所以y＝tan(x＋π)是奇函数．
答案：A
2．解析：由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．故定义域为，
且f＝tan ＝.
答案：　
3．解析：因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，
所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
题型探究
[例1]　[解]　(1)由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，
得x≠＋(k∈Z)，
故定义域为.
(2)由题意得
即
故定义域为(k∈Z)．
[活学活用]
1.解析：要使函数有意义，则有1＋tan x≠0，
∴tan x≠－1，∴x≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z.
因此，函数y＝的定义域为.
[例2]　[解析]　令f(x)＝tan.则A中，f(－x)＝tan＝－tan≠－tan＝－f(x)，∴函数y＝tan不是奇函数，A错误；由正切函数的图象知y＝tan没有单调递减区间，故B错误；C中，∵f＝tan 0＝0，故为图象的一个对称中心，C正确；D中，y＝tan的最小正周期T＝，D错误．
[答案]　C
[活学活用]
2．解析：选A　法一：直接利用公式，可得T＝＝.
法二：由诱导公式可得tan＝tan＝tan，所以f＝f(x)，所以周期T＝.
3．解析：选B　令2x＝(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，则函数y＝3tan 2x的对称中心为(k∈Z)，故选B.
题点一：求单调区间
1．解析：y＝tan＝－tan，
由kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间．
题点二：比较大小
2．解析：(1)因为tan＝tan，tan＝tan，
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
所以tan＜tan，即tan＜tan.
(2)因为tan＝－tan，tan＝－tan，
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
所以tan＞tan，所以－tan＜－tan，
即tan＜tan.
题点三：求值域或最值
3．解析：∵x∈∪，
∴＋∈∪，
令t＝＋，由y＝tan t，t∈∪的图象(如图所示)，可得所求函数的值域为∪[，＋∞)．
达标检测
1．解析：∵2x－≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠＋π，k∈Z.故选B.
答案：B
2．解析：令kπ－得kπ－π即y＝tan 的单调增区间为
，k∈Z.故选C.
答案：C
3．解析：A.y＝tan x在上单调递增，不满足条件(1)．
B．函数y＝cos x是偶函数，不满足条件(3)．
C．函数y＝sin(x＋3π)＝－sin x，满足三个条件．
D．函数y＝sin 2x的最小正周期T＝π，不满足条件(2)．
答案：C
4．解析：作出y＝|tan x|的图象，如图所示．
由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期是π.
答案：π

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