资源简介

5.5.1.1两角差的余弦公式导学案
【学习目标】
1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程．
2.熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用.
【学习重难点】
重点：两角差的余弦公式的推导及应用．
难点：两角差的余弦公式的推导.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P215～217，思考并完成以下问题
(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)
(2)两角差的余弦公式是如何推导的？
预习任务二：简单题型通关
1．cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为(　　)
A．－ B.
C．2 D．－1
3．cos 105°＋sin 195°＝________.
二、新知精讲
两角差的余弦公式
公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β为任意角
[点睛]　(1)由C(α－β)可知，我们只要知道cos α，cos β，sin α，sin β的值，就可以求得cos(α－β)的值．
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合．
(3)要掌握公式的正用，如cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.同样也要掌握公式的逆用，如cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos2β.
三、题型探究
题型一 给角求值问题
[例1]　(1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)cos(－15°)的值为(　　)
A. B.
C. D．－
(3)化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.
[归纳总结]
利用公式C(α－β)求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，再用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
[活学活用]
1、计算下列各式的值：
(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；
(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)．
题型二 给值求值问题
[例2]　(1)已知cos α＝，cos(α＋β)＝，且α，β均为锐角，求cos β的值．
(2)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，
sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值．
[方法总结]
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[活学活用]
2. 已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值．
题型三 给值求角问题
[例3]　(1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.
(2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________.
[一题多变]
1．[变条件]若本例(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.
2．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
[方法总结]
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
四、达标检测
1．若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
2．化简：cos(－42°)cos 18°＋sin 42°sin(－18°)＝________.
3．求下列各式的值．
(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；
(2)sin 100°·sin(－160°)＋cos 200°·cos(－280°)．
五、本课小结
1. 两角差的余弦公式是什么？
2. 利用公式C(α－β)求值的方法技巧
3. 已知三角函数值求角的解题步骤？
参考答案
一、课前预习
1．解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
答案：B
2．解析：原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝，故选B.
答案：B
3．解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°)
＝cos 105°＋cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2＝.
答案：
三、题型探究
题型一 给角求值问题
[例1]　[解析]　(1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°＝cos(50°－20°)＝cos 30°＝，故选C.
(2)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×
＝，故选C.
(3)cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α
＝cos(α＋45°－α)＝.
[答案]　(1)C　(2)C　(3)
[归纳总结]
利用公式C(α－β)求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
[活学活用]
1. 解析：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°
＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝.
(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
题型二 给值求值问题
[例2]　[解]　(1)∵α，β均为锐角，
∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0.
由cos α＝，cos(α＋β)＝，
得sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.
(2)∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin(＋φ)＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.
[活学活用]
2.解析：∵＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，＜α＋β＜.
又sin(α＋β)＝－，∴π＜α＋β＜，
从而有cos(α＋β)＝－.
∵cos(α－β)＝，∴cos(β－α)＝，sin(β－α)＝－.
∴cos 2α＝cos[(α＋β)－(β－α)]
＝cos(α＋β)cos(β－α)＋sin(α＋β)sin(β－α)
＝×＋×＝－.
题型三 给值求角问题
[例3]　[解析]　(1)∵α，β均为锐角，
∴cos α＝，cos β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，∴0<α－β<.
故α－β＝.
(2)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
[答案]　(1)　(2)
[一题多变]
1．解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α故α－β＝－.
答案：－
2．解析：由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝ ＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
所以β＝.
四、达标检测
1．解析：cos＝cos xcos ＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝sin x＋cos x，故选A.
答案：A
2．解析：原式＝cos 42°cos(－18°)＋sin 42°sin(－18°)
＝cos[42°－(－18°)]＝cos 60°＝.
答案：
3．解析：(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°
＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.
(2)原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°)
＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80°
＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°)
＝－cos(20°－80°)＝－.

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