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5.5.1.2　两角和与差的正切公式导学案
【学习目标】
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．
【学习重难点】
重点：利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．
难点：推导出两角和与差的正切公式
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P217～220，思考并完成以下问题
1.tan α，sin α，cos α的关系怎样？利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？
2.怎样用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？
预习任务二：简单题型通关
1．已知α，β为任意角，则下列等式：
①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
③cos＝－sin α；
④tan(α－β)＝．
其中恒成立的等式有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．1个
2．若tan＝2，则tan α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
二、新知精讲
两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的正切 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[化解疑难]
1．公式tan(α＋β)＝的推导
当cos(α＋β)≠0时，将公式S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有tan(α＋β)＝＝，若cos αcos β≠0，将上式的分子，分母分别除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝.
2．公式tan(α－β)＝的推导
由于tan(－β)＝＝＝－tan β，在T(α＋β)中以－β代替β，可得tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝，即tan(α－β)＝
三、题型探究
题型一 化简求值问题
[例1]　(1)若α＋β＝，tan α＋(tan αtan β＋c)＝0(c为常数)，则tan β＝________；
(2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°的值是________．
[归纳总结]
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”、“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
[活学活用]
1．计算的值；
2．求tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值．
题型二 条件求值问题
[例2]　已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan 的值．
[归纳总结]
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
[活学活用]
3. 已知cos α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan β及tan(2α－β)．
题型三 给值求角问题
[例3]　是否存在锐角α和β，使α＋2β＝①，且tantan β＝2－②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[类题通法]
解决给值求角问题的步骤
解决给角求值问题，以下两个步骤缺一不可：
(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；
(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
[活学活用]
4. 已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β.
四、达标检测
1.＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
2．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为(　　)
A．1 B．2
C．1＋ D．1＋
3．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________.
4.＝________.
5．已知sin α＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，求tan β的值．
五、本课小结
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
参考答案
课前预习
1．解析：①②③恒成立．
答案：B
2．解析：tan(α＋)＝＝2，
解得tan α＝．
答案：A
3．解析：∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．
答案：A
题型探究
[例1]　[解析]　(1)∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan α＋tan αtan β＋c＝－tan β＋c＝0，
∴tan β＝(c＋1)．
(2)∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
[答案]　(1)(c＋1)　(2)
[活学活用]
1．解析：(1)法一：∵tan 45°＝1，
∴＝＝tan(45°＋105°)＝tan 150°＝－.
法二：∵tan 105°＝tan(45°＋60°)＝＝＝－2－，
∴＝＝－.
2．解析：∵tan(20°＋40°)＝＝，
∴tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)，
∴tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
[例2]　[解]　由题意，得cos＝－，
sin＝－，
∴tan＝－，tan＝，
∴tan ＝tan
＝
＝＝－.
[活学活用]
3.解析：∵cos α＝>0，α∈(0，π)，
∴α∈，sin α>0.
∴sin α＝＝ ＝，
∴tan α＝＝＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝2.
[例3]　[解]　法一：由①得＋β＝，
∴tan＝＝.
将②代入得tan＋tan β＝3－.
∵tantan β＝2－，
∴tan、tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则与α为锐角矛盾．
∴tan β＝1，tan＝2－，
∴β＝，代入①得α＝，满足tan＝2－.
法二：由①得＝－β，代入②得：
tan·tan β＝2－
·tan β＝2－.
tan2β－(3－)tan β＋2－＝0，
tan β＝1或2－.
若tan β＝2－，代入②得tan＝1，不合题意；
若tan β＝1，则β＝，α＝，符合题意．
故存在α＝，β＝使①、②同时成立．
[活学活用]
4.解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，
而α∈(0，π)，∴α∈.
∵tan β＝－，β∈(0，π)，
∴β∈，∴－π<α－β<0.
而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1.
∴2α－β＝－.
达标检测
1.解析：选D　原式＝＝tan(45°－75°)
＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
2．解析：选B　∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
3．解析：∵tan(α＋β)＝，
∴1－tan αtan β＝＝＝，
∴tan α·tan β＝1－＝.
答案：
4. 解析：原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
答案：
5．解析：由sin α＝，α为第二象限角，
得cos α＝－，则tan α＝－，
∴tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝7.

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