资源简介

5.5.1.2　两角和与差的正弦、余弦公式导学案
【学习目标】
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.
【学习重难点】
重点：会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．
难点：熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P217～220，思考并完成以下问题
(1)两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？
(2)如何利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式？
预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(　　)
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　)
2．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于(　　)
A. B．－ C．0 D．1
3．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　)
A. B．－ C. D．－
4．求值：cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°＝________.
二、新知精讲
1．两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，简记为C(α＋β)，其中α，β都是任意角．
2．两角和与差的正弦公式
(1)两角和的正弦：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋co αsin β，简记为S(α＋β)，其中α，β都是任意角．
(2)两角差的正弦：
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，简记为S(α－β)，其中α，β都是任意角．
三、题型探究
题型一 给角求值问题
[例1]　求值：(1)sin(－15°)；
(2)(tan 10°－).
[归纳总结]
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[活学活用]
1. 求值：(1)cos 75°； (2).
题型二 给值求值问题
[例2]　(1)已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；
(2)求值：sin ＋cos ；
(3)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．
[归纳总结]
给值求值的方法
(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan 45°，1＝sin 90°等.1，，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．
(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．
常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，
＝－，
α＋β＝(2α＋β)－α，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)等．
[活学活用]
2. 若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．
题型三 给值求角问题
[例3]　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
[归纳总结]
给值求角问题的解题策略
(1)解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．
[活学活用]
3. 已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
四、达标检测
1．sin 105°的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．cos－sin的值是(　　)
A. B．－
C．0 D.
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β＝________.
4.已知sin α＝－，α是第四象限角，则sin＝________.
五、本课小结
1.两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别
2.解决给角求值问题的策略
参考答案
课前预习
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×
2．答案：C
3．答案：A
4．答案：－
题型探究
[例1]　[解]　(1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°
＝×－×＝.
(2)法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝
＝·
＝－2.
法二：原式＝
＝·
＝
＝＝－2.
[活学活用]
1. 解析：(1)cos 75°＝cos(30°＋45°)
＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°
＝×－×＝.
(2)
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
[例2]　[解]　(1)[直接法]
∵α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝，sin β＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
(2)[常值代换法]
原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin ＝.
(3)[角的代换法]
∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.
又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
∴sin(α－β)＝
＝ ＝，
cos(α＋β)＝－＝ － ＝－.
∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－.
[活学活用]
2. 若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．
解析：∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0，
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－
＝－＝.
[例3]　[解]　∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×－×＝.
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，
∴α＋β＝.
[活学活用]
3. 解析：∵α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
又∵α，β均为锐角，
∴－<α－β<.
故α－β＝－.
达标检测
1．解析：选D　sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.
2．解析：选A　cos－sin＝cos＋sin＝sin＝sin＝.
3．解析：由条件知：
①＋②得2cos αcos β＝0，∴ cos αcos β＝0.
答案：0
4. 解析：由sin α＝－，α是第四象限角，
得cos α＝＝ ＝，
于是有sin＝sincos α－cossin α＝×－×＝.
答案：

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