资源简介

5.5.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案
【学习目标】
1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．
2.能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明.
【学习重难点】
重点：二倍角公式的推导、.二倍角公式及变形公式的应用．
难点：二倍角变形公式的应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P220～223，思考并完成以下问题
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？
(2)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？
预习任务二：简单题型通关
1.－cos2的值等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
2．1－2sin2750°＝________.
3.＝________.
二、新知精讲
二倍角公式
[点睛]　(1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．
(2)对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tan α有意义，即α≠kπ＋且α≠kπ－且α≠kπ＋(k∈Z)．当α＝kπ＋及α＝kπ－(k∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝kπ＋(k∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.
(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin 3αcos 3α＝sin 6α.
三、题型探究
题型一 给角求值问题
[例1]　求下列各式的值：
(1)sincos； (2)1－2sin2750°；
(3)； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.
[归纳总结]
此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．
[活学活用]
1、求下列各式的值．
(1)sinsin； (2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1； (4).
题型三 化简问题
[例2]　化简：(1)－；
(2).
[归纳总结]
(1)化简三角函数式的常用方法：
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．
(2)化简三角函数式的常用技巧：
①特殊角的三角函数与特殊值的互化；
②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．　　　　
[活学活用]
2. 化简：(1)＋；
(2).
题型三 给值求值问题
[例3]　已知cos＝，≤α<，求cos的值．
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，求的值．
2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x∈，sin＝，求sin的值．
[归纳总结]
解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
四、达标检测
1．(高考全国Ⅱ卷)若cos(－α)＝，则sin 2α＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
2．若cos cos ＝，则sin 2θ的值为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知sin x＝，则cos 2x＝________.
五、本课小结
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？
2.S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？
3.化简三角函数式的常用方法有哪些？
参考答案
课前预习
1.解析：－cos2＝－
＝－cos ＝－.
答案：A
2．解析：1－2sin2750°＝1－2sin230°＝cos(2×30°)＝cos 60°＝.
答案：
3.解析：＝tan(2×150°)＝tan 300°＝－tan 60°＝－.
答案：－
题型探究
[例1]　[解]　(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝
＝.
[活学活用]
1. 解析：(1)∵sin ＝sin＝cos ，
∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝＝tan 60°＝.
[例2]　[解]　(1)原式＝＝＝tan 2θ.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝
＝1.
[活学活用]
2.解析：(1)原式＝＋
＝＋
＝|sin 10°＋cos 10°|＋|sin 10°－cos 10°|
＝sin 10°＋cos 10°＋cos 10°－sin 10°
＝2cos 10°.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
[例3]　[解]　∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－
＝－ ＝－.
∴cos 2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×
＝－.
[一题多变]
1．解析：原式＝＝(cos α－sin α)＝2cos＝.
2．解析：由sin＝，
得sin xcos －cos xsin ＝，
两边平方，得sin2x＋－sin 2x＝，
∴·＋－sin 2x＝，
即sin 2x·＋cos 2x·＝，
∴sin＝.
达标检测
1．解析：因为cos(－α)＝cos cos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选 D.
答案：D
2．解析：cos cos ＝，
即cos sin ＝，
即sin ＝，∴cos 2θ＝.
又∵0<θ<，∴0<2θ<π，
∴sin 2θ＝.
答案：B
3．解析：cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×2＝.
答案：

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