资源简介

5.5.2　简单的三角恒等变换导学案
【学习目标】
1.了解半角公式及推导过程．
2.能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．
3.掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用.
【学习重难点】
重点：灵活运用三角公式，特别是倍角公式进行三角恒等变换．
难点：三角恒等变换的应用
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P225～228，思考并完成以下问题
(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？
(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？
预习任务二：简单题型通关
见配套课前检测
二、新知精讲
半角公式
[点睛]　(1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求的正弦、余弦、正切的值．
(2)对于和，α∈R，但是使用时，要保证α≠(2k＋1)π(k∈Z)．
三、题型探究
题型一 求值问题
[例1]　已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[归纳总结]
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值的一般思路
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[活学活用]
1、已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos与tan的值．
题型二 三角函数式的化简
[例2]　化简：(π<α<2π)．
[一题多变]
1．[变条件]若本例中式子变为：
(－π<α<0)，求化简后的式子．
2．[变条件]若本例中的式子变为：
＋，π<α<，求化简后的式子．
[归纳总结]
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．　　　　
题型三 三角恒等变换的综合应用
题点一：与三角函数性质综合应用
1．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2.x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为.
(1)求a，ω的值；
(2)若f(α)＝，求sin的值．
题点二：与平面向量综合应用
2．已知三点A，B，C的坐标分别为A(cos α，sin α)，B(3,0)，C(0,3)，若·＝－1，求的值．
题点三：三角变换在实际生活中的应用
3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100 米，宽BC＝50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)．
[归纳总结]
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
　　　　
四、达标检测
见配套随堂练习
五、本课小结
1．半角的正弦、余弦、正切公式是什么？半角公式的符号是由哪些因素决定的？
2．已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值的一般思路。
参考答案
题型探究
[例1]　[解]　∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin＝ ＝，
cos＝－ ＝－，
tan＝＝－2.
[活学活用]
1.解析：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，
即0<<，
所以cos＝ ＝＝.
由0<α－β<π，cos(α－β)＝，
得sin(α－β)＝＝.
所以tan＝＝＝.
[例2]　[解]　原式＝
＝
＝.
又∵π<α<2π，∴<<π，
∴cos<0，
∴原式＝＝cos α.
[一题多变]
1．解析：原式＝
＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，
所以sin<0，
所以原式＝＝cos α.
2．解析：原式＝＋，
∵π<α<，∴<<.
∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
题点一：与三角函数性质综合应用
1．解析：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝ sin(2ωx＋φ)，其中tan φ＝.
由题意知 ＝2，a>0，则a＝1.
f(x)的最小正周期为π，
则＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由f(α)＝知2sin＝，
即sin＝.
所以sin＝sin
＝－cos＝－1＋2sin2
＝－1＋2×2＝－.
题点二：与平面向量综合应用
2．解析：由题意，得＝(3－cos α，－sin α)，
＝(－cos α，3－sin α)．
∵·＝－1，
∴(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝－1.
整理，得sin α＋cos α＝.
∴1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∴
＝
＝
＝2sin αcos α＝－.
题点三：三角变换在实际生活中的应用
3.解析：(1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，
∠CHE＝x，
∴HE＝.
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90 °，∠DFH＝x，
∴HF＝.
又∠EHF＝90°，∴EF＝，
∴三条路的全长(即△HEF的周长)
L＝.
当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝.
故此函数的定义域为.
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝，x∈，
设sin x＋cos x＝t，则sin xcos x＝，
∴L＝＝.
由t＝sin x＋cos x＝sin，x∈，
得≤t≤，
从而＋1≤≤＋1，当x＝，即CE＝50时，
Lmin＝100(＋1)，
∴当CE＝DF＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．

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