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5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)导学案
【学习目标】
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响．
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
【学习重难点】
重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的画法及应用．
难点：y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换的理解及应用.．
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P232～237，思考并完成以下问题
(1)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？
(2)函数y＝Asin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
(3)函数y＝sin ωx，x∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由函数y＝sin的图象得到y＝sin x的图象，必须向左平移．(　　)
(2)把函数y＝sin x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．(　　)
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)
2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝3sin x　　　　　　　　 B．y＝sin x
C．y＝sin 3x D．y＝sin x
3．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．
二、新知精讲
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
[点睛]
A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．
三、题型探究
题型一 “五点法”作图
[例1]　用“五点法”作出函数y＝sin(x－)的简图．
[归纳总结]
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
[活学活用]
1. 用“五点法”作出函数y＝sin在[0，π]上的图象．
题型二 函数图象的平移变换
[例2]　要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[归纳总结]
图象平移变换的策略
(1)先确定平移方向和平移的量．
(2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；若φ＜0，则右移|φ|个单位．
当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位；若φ＜0，则右移个单位．
[活学活用]
2．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数图象是(　　)
A．y＝sin 2x　　　　　　　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．把函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝sin＋1
B．y＝sin＋1
C．y＝sin－1
D．y＝sin－1
题型三 函数图象的伸缩变换
[例3]　说明y＝－2sin＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
[归纳总结]
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[活学活用]
4．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
5．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sin x，则(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
四、达标检测
1．将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是(　　)
A．y＝sin x　　　　　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
2．要得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin x的图象(　　)
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
3．指出y＝cos(x－)的图象是怎样由y＝sin x的图象变换得到的？
五、本课小结
1．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤。
参考答案
课前预习
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．答案：B
3．答案：A
4．答案：y＝sin 4x
题型探究
[例1]　[解]　函数y＝sin的周期T＝＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．列表如下：
x π 4π 7π
x－ 0 π 2π
sin 0 0 － 0
描点、连线，如图所示，
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝sin的简图(图略)．
[活学活用]
1. 解析：列出x，y的对应值表：
x －
2x＋ 0 π 2π
y 0 0 － 0
描点、连线，如图所示．
[例2]　[解析]　因为y＝sin＝sin ，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin ＝sin的图象．
[答案]　C
[活学活用]
2．解析：选C　y＝sin 的图象 y＝sin＝sin的图象．
3．解析：选B　将函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin 2x的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin 2x＋1的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＋1＝sin(2x－)＋1的图象．故选B.
[例3]　[解]　[法一　先伸缩后平移] y＝sin x的图象y＝－2sin x的图象y＝－2sin 2x的图象 y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
[法二　先平移后伸缩]
y＝sin x的图象y＝－2sin x的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
达标检测
1．解析：y＝sin
答案：C
2．解析：y＝cos ＝cos 且y＝sin x＝cos ，故选C.
答案：C
3．解析：∵y＝cos(x－)
＝sin[＋(x－)]
＝sin(x＋)．
∴y＝cos(x－)的图象是由y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)而得到的．

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