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专题06 平面向量的最值问题
年份 考点 考查内容
2021 全国甲卷 平面向量数量积及其运算 数量积与模的运算
全国乙卷 平面向量数量积及其运算 向量坐标的平行于垂直的运算
新高考1卷 平面向量数量积及其运算 平面向量数量积及其运算、向量的模
2022 新高考1卷 平面向量的线性运算 线性运算
1、中线向量定理与共线定理，等和线定理
如图1所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
图1 图2
等和线：如图2所示，OC xOA yOB, x y 1，若OD OP OQ，则 =相似比
2、极化恒等式
极化恒等式：
（极化恒等式的三角形模式）在中，若M是BC的中点，则有
3、矩形大法
矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则 OA2+OC2=OB2+OD2
题型一 向量的线性运算
1．(4分)如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2．(4分)如图，中，，，边的垂直平分线分别与，交于点，E，若是线段上的动点，则的值为（ ）
A.与角A有关，且与点的位置有关 B.与角A有关，但与点的位置无关
C.与角A无关，但与点的位置有关 D.与角A无关，且与点的位置无关
3、（2021·湖北高三模拟）△ABC中，，，设，则（ ）
A． B．
C． D．
4、中，，，, 点O是的外心，则 =
题型二 特殊多边形或特殊角度的向量最值问题
(4分)已知矩形中，，当每个取遍时，的最小值是 ，最大值是 ．
2．(4分)已知平面向量满足：，，，则的最大值是 ．
3．(4分)已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值是 ．
题型三 等和线
1、(4分)在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2、已知单位向量，的夹角为，且满足，若=x+y，则x+2y的最大值是
题型四 向量的几何运算
1．(4分)已知向量，满足，与的夹角为，若对一切实数x，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2．(4分)已知，是两个非零向量，且， ，则的最大值为（ ）
A. B. C.4 D.5
3.已知非零向量，，满足||=1，||=3，则||+||的最大值是
题型五 解决向量的共起点问题----极化恒等式
1、(4分)已知，|BC|＝4，P是三角形ABC平面内任意一点，且满足||＝1，则·的最小值是（ ）
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
2.(4分)已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（ ）
A.2 B.4 C.5 D.6
3.已知向量，，，满足，的夹角是，||＝5，与的夹角为，||＝3，则a·c的最大值是
题型六 矩形大法，平行四边形法则
已知圆C1: x2＋y2＝9，圆C2: x2＋y2＝4，定点P（1，0），动点A，B分别在圆C1和圆C2上，满足APB＝90°，则线段AB的取值范围是
2、在平面直角坐标系中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A（1，1），且ABAC，则线段BC的长的取值范围为
3、已知P是矩形ABCD内的一点，PA=3，PC=4，AC=6，则 =
1．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
3．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南岳阳·三模）设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧上运动(包含B，C两个端点)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范围为________．
5．（2021 浙江模拟）已知中，，，是延长线上一点，且，为的中点，，则__________；若为所在平面上的一个动点，且，则当取最小值时，__________．
6．（2022·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河南安阳·模拟预测（理））15.已知平面向量a，b，c，满足｜｜=1，｜｜=，·=0，与的夹角为300 则·（）的最大值是
10．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（多选题）（2022·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
12．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使
13．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在中，为其外心，，若，则________．
14、已知e为单位向量，若a ，b ｛m｜｜m-2e｜＝｜m-e｜｝，且（a-e）·（b-e）＝0，则||的取值范围是
15．（2021 绍兴二模）已知平面向量，，满足：，，，，则的最大值是___________
16．（2021 河西区一模）已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，，，若，则的值为_________；若为线段上的动点，则的最大值为_________
17．（2021 南开区一模）在中，，，，则__________；若，，，则的最大值为___________．
18．（2021 宁波二模）已知向量，，且，则的最大值为___________．
19．（2021春 温州期末）已知非零平面向量，，满足，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是___________．
1．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
3．（2019 浙江）已知正方形的边长为1．当每个，2，3，4，5，取遍时，的最小值是__________，最大值是__________．
6．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
10．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
11．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
12．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
13．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
14．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
15．（2021·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
16、（2019·全国·高考真题（文））如图，、、是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外一点，若，则的取值范围是 ．
17、（2019江西理7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P是线段CD的
中点，则( )
(A)2 (B)4 (C)5 (D)10
18、（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
19、（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20、（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2

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