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八年级数学上册全等三角形解答题练习
一．解答题（共30小题）
1．如图，已知∠ACB＝∠DBC，AC＝BD，求证：△ABC≌△DCB．
2．如图，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边，AF＝8，BE＝2．
（1）写出其他对应边及对应角；
（2）判断AC与DF的位置关系，并说明理由．
（3）求AB的长．
3．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）当AB＝6时，求CD的长．
4．如图，已知：PA＝PB，AC＝BD，PC＝PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．
5．如图，∠1＝∠2，AB＝AE，AC＝AD．求证：BC＝ED．
6．仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：
如图，AD为△ABC的中线，已知AD＝4cm，试确定AB+AC的取值范围．
解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
因为AD为△ABC的中线，
所以 　 　，
在△ACD和△EBD中，因为AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，所以 　 　（SAS）．
所以BE＝AC（ 　 　）．
因为AB+BE＞AE（ 　 　），
所以AB+AC＞AE．
因为AE＝2AD＝8cm，所以AB+AC＞　 　cm．
7．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC延长线上的点，AP平分∠BAC，BP平分∠CBD，求证：CP平分∠BCE．
证：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC （ 　 　），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴　 　（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 　 　，
∴PF＝PH，
∴　 　（ 　 　），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
8．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，∠B+∠BCF＝180°，若AB＝4，CF＝2.4，求BD的长．
9．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．
10．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠AED＝20°，AB＝4cm，C为AD的中点．
（1）求AE的长；
（2）求∠BAE的度数．
11．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．
（1）求∠APB的度数为 　 　；
（2）证明：AH+BD＝AB．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）E是AC的中点，若∠BED＝120°，试判断△BDC的形状并说明理由．
13．已知，如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，且CB＝CD，求证：DF＝EB．
14．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一直线上，点E在AC上．
（1）若BC＝3，CD＝5，求AE的长；
（2）判断AB与DE所在直线的位置关系，并说明理由．
15．如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，AF既是△ABC的高又是△ABC的中线，BE＝CD，连接AE，AD＝AE．
（1）求证：∠DAC＝∠EAB；
（2）若BE平分∠CBA，∠BAC＝36°，求∠DCA的度数．
16．如图，已知：AB＝CD，AD＝BC，EF过BD的上一点O与DA、BC的延长线交于E、F两点．
求证：∠E＝∠F．
17．已知：如图，D是△ABC边BC上一点，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于F，且EF平分∠AEB，∠B＝∠EAC．求证：
（1）ED＝EA；
（2）AD是△ABC的角平分线．
18．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC＝AB．
19．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，点BE交AD于F，且DC＝FD．AC＝BF．
（1）证明：△BFD≌△ACD．
（2）若AB＝，求AD的长．
20．如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且2AE＝AD+AB．问：∠1和∠2有何数量关系？并说明理由．
21．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠2＝58°，求∠3的度数．
22．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，且AB＝AD，AC＝AE，连接CD，EB．
（1）求证：∠CAD＝∠EAB；
（2）试判断CF与EF的数量关系，并说明理由．
23．如图，A，B，D依次在同一条直线上，在AD的同侧作∠A＝∠D＝Rt∠，AC＝BD，∠ABC＝∠BED．
（1）求证：CB＝BE．
（2）若AC＝2，AD＝6，求CE的长．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论．
25．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，连接ED交BC于F，DF＝EF．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接CD，若∠DFB＝45°，BC＝6，求△BCD的面积．
26．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE，连接BE、CD相交于点O．
（1）求证：OB＝OC；
（2）如图2，若∠A＝36°，BE平分∠ABC，过点A作AF∥CD交BE的延长线于点F，直接写出图中与EF相等的线段．
27．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过多少秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等？
28．已知在平面直角坐标系中A（0，2），P（3，3），且PA⊥PB．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，仍保持PA1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值．
29．如图，点D为△ABC外一点，连接BD，E为BD延长线上一点，连接CD交AB于点F，过点A作BC的垂线交BC于点O，已知OB＝OC，∠ABD＝∠ACD，AM⊥BE于点M，AN⊥CD于点N．
（1）求证：△ABM≌△ACN；
（2）求证：DA为∠EDC的平分线；
（3）求证：CN＝DN+BD．
30．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．
（1）如图1，求证：△AEC≌△ABD；
（2）在图1中，连接AM，则∠EMB＝　 　，∠AMC＝　 　；（都用含α的代数式表示）
（3）如图2，若α＝50°，G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数．
参考答案
一．解答题（共30小题）
1．如图，已知∠ACB＝∠DBC，AC＝BD，求证：△ABC≌△DCB．
证明：在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
2．如图，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边，AF＝8，BE＝2．
（1）写出其他对应边及对应角；
（2）判断AC与DF的位置关系，并说明理由．
（3）求AB的长．
解：（1）∵△ABC≌△FED，
∴∠B和∠E是对应角，∠C和∠D是对应角，AC和FD是对应边，AB和EE是对应边；
（2）AC∥DF，理由如下：
∵△ABC≌△FED，
∴∠A＝∠F，
∴AC∥DF；
（3）∵△ABC≌△FED，
∴AB＝FE，
∴AB﹣BE＝FE﹣BE，
即AE＝BF，
∵AF＝8，BE＝2，
∴AE+BF＝AF﹣BE＝6，
∴AE＝3，
∴AB＝AE+BE＝5．
3．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）当AB＝6时，求CD的长．
（1）证明：∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
在△AED与△EBC中，
，
∴△AED≌△EBC（AAS）；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵△AED≌△EBC，
∴ED＝BC，
在△DEC和△BCE中，
，
∴△DEC≌△BCE（SAS），
∴CD＝BE，
∵点E为AB的中点，
∴BE＝AB＝3，
∴CD＝BE＝3．
4．如图，已知：PA＝PB，AC＝BD，PC＝PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．
解：△PAD≌△PBC，理由如下：
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC，
在△PAD和△PBC中，
∴△PAD≌△PBC（SSS）．
5．如图，∠1＝∠2，AB＝AE，AC＝AD．求证：BC＝ED．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC＝ED．
6．仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：
如图，AD为△ABC的中线，已知AD＝4cm，试确定AB+AC的取值范围．
解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
因为AD为△ABC的中线，
所以 　BD＝CD　，
在△ACD和△EBD中，因为AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，所以 　△ACD≌△EBD　（SAS）．
所以BE＝AC（ 　全等三角形的对应边相等　）．
因为AB+BE＞AE（ 　三角形两边之和大于第三边　），
所以AB+AC＞AE．
因为AE＝2AD＝8cm，所以AB+AC＞　8　cm．
解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
因为AD为△ABC的中线，
所以BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，
所以△ACD≌△EBD（SAS）．
所以BE＝AC（全等三角形的对应边相等），
因为AB+BE＞AE（三角形两边之和大于第三边），
所以AB+AC＞AE，
因为AE＝2AD＝8cm，
所以AB+AC＞8cm，
故答案为：BD＝CD；△ACD≌△EBD；全等三角形的对应边相等；三角形两边之和大于第三边；8．
7．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC延长线上的点，AP平分∠BAC，BP平分∠CBD，求证：CP平分∠BCE．
证：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC （ 　已知　），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴　PG＝PF　（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 　PF⊥AD，PH⊥BC　，
∴PF＝PH，
∴　PG＝PH　（ 　等量代换　），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
证明：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC（已知），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴PG＝PF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 PF⊥AD，PH⊥BC，
∴PF＝PH，
∴PG＝PH（等量代换），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
故答案为：已知；PG＝PF；PF⊥AD，PH⊥BC；PG＝PH；等量代换．
8．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，∠B+∠BCF＝180°，若AB＝4，CF＝2.4，求BD的长．
解：∵∠B+∠BCF＝180°，
∴AB∥CF，
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴AD＝CF＝2.4，
∵AB＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣2.4＝1.6，
∴BD的长是1.6．
9．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．
解：∠3＝∠1+∠2，
证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SSS），
∴∠BAE＝∠1，∠ABE＝∠2，
∴∠3＝∠BAE+∠ABE＝∠1+∠2．
10．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠AED＝20°，AB＝4cm，C为AD的中点．
（1）求AE的长；
（2）求∠BAE的度数．
解：（1）∵△ABC≌△ADE，∠B＝10°，AB＝4cm，
∴∠ADE＝∠B＝10°，∠EAD＝∠CAB，AD＝AB＝4cm，
∵点C为AD中点，
∴AC＝AD＝×4＝2（cm），
∴AE＝2cm，
（2）∵∠AED＝20°，∠ADE＝10°，
∴∠EAD＝180°﹣∠EAD﹣∠AED＝180°﹣10°﹣20°＝150°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠BAE＝360°﹣150°﹣150°＝60°．
11．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．
（1）求∠APB的度数为 　135°　；
（2）证明：AH+BD＝AB．
（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠CAB+∠CBA）＝∠45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°；
（2）证明：∵∠APB＝135°，
∴∠BPD＝45°，
∵PF⊥AD，
∴∠BPF＝90°+45°＝135°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠FBP，
在△APB和△FPB中，
，
∴△APB≌△FPB（SAS），
∴∠F＝∠BAP，AP＝FP，AB＝FB，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∴∠F＝∠CAP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH＝∠FPD，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH＝FD，
∴AH+BD＝FD+BD＝BF＝AB．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）E是AC的中点，若∠BED＝120°，试判断△BDC的形状并说明理由．
（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴CB＝CD，
∴点A、点C都在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：△BDC是等边三角形，
理由：∵BE＝DE，EA⊥BD，∠BED＝120°，
∴∠AEB＝∠AED＝∠BED＝60°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴BE＝DE＝AE＝AC，
∴△ABE、△ADE都是等边三角形，
∴∠EAB＝∠EAD＝60°，
∴∠DAB＝∠EAB+∠EAD＝120°，
∴∠BCD＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC﹣∠DAB＝60°，
∵CB＝CD，
∴△BDC是等边三角形．
13．已知，如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，且CB＝CD，求证：DF＝EB．
证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
在Rt△CFD和Rt△CEB中，
，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴DF＝EB．
14．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一直线上，点E在AC上．
（1）若BC＝3，CD＝5，求AE的长；
（2）判断AB与DE所在直线的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE＝3，AC＝DC＝5，
∵点E在AC上，
∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2；
（3）AB与DE所在直线的位置关系AB⊥DE，
理由：延长DE交AB于F，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°＝90°，
∴∠AED＝∠A+∠AFE＝∠D+∠DCE，
∴∠AFE＝∠DCE＝90°，
∴AB⊥DE．
15．如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，AF既是△ABC的高又是△ABC的中线，BE＝CD，连接AE，AD＝AE．
（1）求证：∠DAC＝∠EAB；
（2）若BE平分∠CBA，∠BAC＝36°，求∠DCA的度数．
（1）证明：∵AF既是△ABC的高又是△ABC的中线，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，CF＝BF，
在△AFC与△AFB中，
，
∴△AFC≌△AFB（SAS），
∴AC＝AB，
在△ADC与△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠DAC＝∠EAB；
（2）解：∵∠CAB+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝36°，
∴∠ACB+∠ABC＝144°，
∵△ADC≌△AEB，
∴∠ACB＝∠ABC，∠DCA＝∠EBA，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BE平分∠CBA，
∴∠ABE＝ABC＝36°，
∴∠DCA＝∠ABE＝36°．
16．如图，已知：AB＝CD，AD＝BC，EF过BD的上一点O与DA、BC的延长线交于E、F两点．
求证：∠E＝∠F．
证明：在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠DBC，
∴DE∥BF．
∴∠E＝∠F．
17．已知：如图，D是△ABC边BC上一点，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于F，且EF平分∠AEB，∠B＝∠EAC．求证：
（1）ED＝EA；
（2）AD是△ABC的角平分线．
证明：（1）∵EF平分∠AEB，
∴∠AEF＝∠DEF，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝∠DFE＝90°，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（ASA），
∴EA＝ED；
（2）∵△AEF≌△DEF，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠DAC+∠EAC，
∴∠B+∠BAD＝∠DAC+∠EAC，
∵∠B＝∠EAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴AD是△ABC的角平分线．
18．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC＝AB．
证明：如图，延长BE交AP于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，
∴∠FAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，
∴∠AFE＝∠ABE，
在△AFE和△ABE中，
，
∴△AFE≌△ABE（AAS），
∴FE＝BE，AF＝AB，
在△DEF和△CEB中，
，
∴△DEF≌△CEB（ASA），
∴DF＝BC，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB．
19．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，点BE交AD于F，且DC＝FD．AC＝BF．
（1）证明：△BFD≌△ACD．
（2）若AB＝，求AD的长．
（1）证明：∵AD是ABC的高，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）；
（2）解：∵Rt△ACD≌Rt△BFD，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：
AD2+BD2＝AB2，
∴2AD2＝AB2＝（）2，
∴AD＝．
20．如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且2AE＝AD+AB．问：∠1和∠2有何数量关系？并说明理由．
解：∠1与∠2互补．
理由：作CF⊥AN于F（如图），
∵∠3＝∠4，CE⊥AM，
∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF＝AE．
∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），
∴BE＝DF，
在△DFC和△BEC中，
，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5＝∠2，
∵∠1+∠5＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
21．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠2＝58°，求∠3的度数．
（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CBD，
∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠1＝∠3．
∴∠3＝∠2＝58°．
22．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，且AB＝AD，AC＝AE，连接CD，EB．
（1）求证：∠CAD＝∠EAB；
（2）试判断CF与EF的数量关系，并说明理由．
（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），
∴∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，
∴∠CAD＝∠EAB；
（2）解：CF＝EF，
理由：连接CE，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，
∴∠ACE﹣∠ACB＝∠AEC﹣∠AED，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴CF＝EF．
23．如图，A，B，D依次在同一条直线上，在AD的同侧作∠A＝∠D＝Rt∠，AC＝BD，∠ABC＝∠BED．
（1）求证：CB＝BE．
（2）若AC＝2，AD＝6，求CE的长．
（1）证明：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（AAS），
∴CB＝BE；
（2）解：∵△ABC≌△DEB，AC＝2，
∴AC＝BD＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝4，
∵∠A＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵∠ABC+∠DBE＝∠DEB+∠DBE＝90°，
∴∠CBE＝90°，
∴CE＝＝＝2，
即CE的长为2．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论．
解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，
理由：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BD⊥CE．
（2）α+β＝180°，
证明：∵∠DAE＝∠BAC＝α，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝∠DCE＝β，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
25．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，连接ED交BC于F，DF＝EF．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接CD，若∠DFB＝45°，BC＝6，求△BCD的面积．
（1）证明：如图1，过点D作DG∥AE，交BC于点G，
∴∠FDG＝∠E，
在△DGF和△ECF中，
，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∴BD＝CE；
（2）解：如图2，过点D作DG∥AE，交BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
∵DB＝DG，
∴BH＝GH，
由（1）知△DGF≌△ECF，
∴GF＝CF，
∴HF＝BC＝3，
∵DH⊥BC，∠DFB＝45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴DH＝HF＝3，
∴S△CDB＝BC DH＝6×3＝9．
26．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE，连接BE、CD相交于点O．
（1）求证：OB＝OC；
（2）如图2，若∠A＝36°，BE平分∠ABC，过点A作AF∥CD交BE的延长线于点F，直接写出图中与EF相等的线段．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中，
，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴∠DCB＝∠EBC，
∴OB＝OC；
（2）与EF相等的线段有：CE，CO，BO，BD，
理由如下：
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝36°，
∴∠ABE＝∠BAE＝36°，
∴EA＝EB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBE＝36°，
∴∠BOC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠BOD＝∠COE＝72°，
∵∠OCE＝72°﹣36°＝36°，
∴∠BEO＝∠CEO＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴BO＝BD，CO＝CE，
∵AF∥CD，
∴∠F＝∠BOD＝72°，
∵∠AEF＝∠CEO＝72°，
∴∠F＝∠AEF＝72°，
在△BCE和△AEF中，
，
∴△BCE≌△AEF（AAS），
∴EC＝EF，
∴BO＝BD＝CO＝CE＝EF．
∴与EF相等的线段有：CE，CO，BO，BD，
27．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过多少秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等？
解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6，
∴BE＝6，
∴AE＝2﹣6＝6，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
AC＝12+6＝18，
点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝12+12＝24，
点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
故当点E经过0秒或3秒或9秒或12秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．
28．已知在平面直角坐标系中A（0，2），P（3，3），且PA⊥PB．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，仍保持PA1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值．
解：（1）如图，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥y轴于N，
∴则四边形PMON是正方形，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
则四边形PMON是正方形，
∴∠ANP＝∠BMP＝∠MPN＝90°，PN＝PM＝ON＝OM＝3，
∴AN＝ON﹣OA＝3﹣2＝1，∠APN+∠APM＝∠BPM+∠APM，
∴∠APN＝∠BPM，
在△PAN和△PBM中，
，
∴△PAN≌△PBM（ASA），
∴PA＝PB，BM＝AN＝1，
∴OB＝OM+BM＝3+1＝4，
∴B（4，0）；
（2）由（1）得PA＝PB，
又∵∠APB＝∠A1PB1＝90°，
∴∠APA1＝∠BPB1，
∵∠PAO+∠PBO＝360°﹣∠AOB﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠PBB1+∠PBO＝180°，
∴∠PAO＝∠PBB1，
在△PAA1和△PBB1中，
，
∴△PAA1≌△PBB1（ASA），
∴AA1＝BB1，
∴OB1﹣OA1＝OB+BB1﹣（AA1﹣OA）＝OB+OA＝4+2＝6．
29．如图，点D为△ABC外一点，连接BD，E为BD延长线上一点，连接CD交AB于点F，过点A作BC的垂线交BC于点O，已知OB＝OC，∠ABD＝∠ACD，AM⊥BE于点M，AN⊥CD于点N．
（1）求证：△ABM≌△ACN；
（2）求证：DA为∠EDC的平分线；
（3）求证：CN＝DN+BD．
（1）证明：∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵AM⊥BE，AN⊥CD，
∴∠AMB＝∠ANC＝90°，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（AAS）；
（2）证明：∵△ABM≌△ACN，
∴AM＝AN，
∵AM⊥BE，AN⊥CD，
∴AD为∠EDC的平分线；
（3）证明：在Rt△ADM和Rt△ADN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△ADN（HL），
∴DM＝DN，
∵△ABM≌△ACN，
∴BM＝CN，
∴CN＝BM＝DM+BD＝DN+BD．
30．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．
（1）如图1，求证：△AEC≌△ABD；
（2）在图1中，连接AM，则∠EMB＝　α　，∠AMC＝　90°+α　；（都用含α的代数式表示）
（3）如图2，若α＝50°，G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数．
（1）证明：如图1，∵∠EAB＝∠CAD＝α，
∴∠EAC＝∠BAD＝∠BAC+α，
在△AEC和△ABD中，
，
∴△AEC≌△ABD（SAS）．
（2）解：如图1，连接AM，设AB交CE于点L，
∵△AEC≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ABD，EC＝BD，
∴∠EMB＝∠ELB﹣∠ABD＝∠ELB﹣∠AEC＝∠EAB＝α；
作AJ⊥EC于点J，AI⊥BD于点I，
∵S△AEC＝S△ABD，
∴EC AJ＝BD AI，
∴AJ＝AI，
∴点A在∠EMD的平分线上，
∴MA平分∠EMD，
∴∠AME＝∠AMD＝∠EMD＝（180°﹣∠EMB）＝（180°﹣α），
∴∠AMC＝180°﹣∠AME＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α，
故答案为：α，90°+α．
（3）如图2，连接AG，
∵G、H分别是EC、BD的中点，EC＝BD，
∴EG＝EC，BH＝BD，
∴EG＝BH，
在△AEG和△ABH中，
，
∴△AEG≌△ABH（SAS），
∴AG＝AH，∠EAG＝∠BAH，
∴∠GAH＝∠GAB+∠BAH＝∠GAB+∠EAG＝∠EAB＝α＝50°，
∴∠AHG＝∠AGH＝×（180°﹣50°）＝65°，
∴∠AHG的度数是65°．

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