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八年级数学上册三角形的外角解答题专项练习
1．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）若∠A＝58°，求：∠E的度数．
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
2．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）求∠DBE的度数．
（2）若∠A＝70°，求∠D的度数．
3．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度．
（2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　．
4．综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　 　；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ．若∠A＝80°，则∠F的度数是 　 　．
5．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
6．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝　 　°；
（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；
（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．
7．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．
8．（概念认识）
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（问题解决）
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数．
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数．
9．如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．
（1）∠ACB＝　 　；
（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求证：CF∥OB．
10．数学概念
百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．
如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD就是凹四边形．
性质初探
（1）在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
深入研究
（2）如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠B、∠D的角平分线相交于点E．
①求证：∠A+∠BCD＝180°；
②随着∠A的变化，∠BED的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索∠BED与∠A的数量关系；如果没有变化，请求出∠BED的度数．
11．已知，点A、B分别在∠MON的两边OM、ON上，点C是射线OP上的一点，连接AC、BC，，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）；AF平分∠MAC，BE平分∠NBC．
（1）如图1，若x＝y＝75°，
①求的度数；
②判断AF、BE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当点C在射线OP上运动时，若直线AF、BE相交于点G，请用含有x、y的代数式表示∠AGB（直接写结果）．
12．已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠BAC＝∠BAD，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）
13．如图，已知△ABC中，AD是△ABC外角∠EAC的平分线且交BC的延长线于点D，比较∠ACB与∠B的大小，并说出理由．
14．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B＝30°，∠DAE＝55°，求∠ACD的度数．
15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P．
（1）若∠ACD＝150°，∠BAC＝80°，求∠BPC的度数；
（2）若∠BPC＝α，求∠PAC；（用含α的式子表示）
（3）探索∠ABC与∠APC的等量关系．
16．已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
17．如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，已知∠B＝20°，∠C＝50°．
（1）求∠EAD的度数；
（2）你发现∠EAD与∠B，∠C之间有何关系？
（3）若将“题中的条件∠B＝20°”改为“∠ABC＝100°”，如图②，其他条件不变，则∠EAD与∠ABC，∠C之间又有何关系？请说明理由；
（4）若将“题目中的条件∠B＝20°，∠C＝50°”改为“∠EAD＝35°，∠BAC＝50°”，其它条件不变，求∠ABC，∠C的度数．
18．如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　 　（只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
19．探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
解：∵∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D．
∴∠AFG+∠AGF＝∠C+∠E+∠B+∠D．
∵∠A+∠AFG+∠AGF＝　 　°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝　 　°．
拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和．
应用：如图③．小明将图②中的点A落在BE上，点C落在BD上，若∠B＝∠D＝36°，则∠CAD+∠ACE+∠E＝　 　°．
20．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
21．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B＝60°，则∠E＝　 　；
②如图2，若∠B＝90°，则∠E＝　 　；
（2）如图3，若∠B＝α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
参考答案
1．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）若∠A＝58°，求：∠E的度数．
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
解：（1）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠ACD，
∴∠E＝∠4﹣∠2＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝×58°＝29°；
（2）∠A与∠E的关系是：∠E＝∠A，
理由如下：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠ACD，
∴∠E＝∠4﹣∠2＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A．
2．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）求∠DBE的度数．
（2）若∠A＝70°，求∠D的度数．
解：（1）∵BD，BE分别为∠ABC，∠CBF的平分线，
∴∠DBG＝∠ABC，∠EBG＝∠CBF，
∴∠DBE＝∠DBG+∠EBG＝×（∠ABC+∠CBF）＝90°；
（2）∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG﹣∠ABC＝∠A＝70°，
∵BD，CD分别为∠ABC，∠ACG的平分线，
∴∠DBG＝∠ABC，∠DCG＝∠ACG，
∴∠D＝∠DCG﹣∠DBG＝×（∠ACG﹣∠ABC）＝35°．
3．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　50　度，∠P＝　115　度．
（2）∠A与∠P的数量关系为　∠P﹣∠A＝90°　，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　∠Q＝90°﹣∠A　．
【探究】
解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝1880°﹣80°﹣50°＝50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB，
∴∠BCP+∠CBP＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：50，115；
（2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下：
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∴∠P+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠P﹣∠A＝90°；
故答案为：∠P﹣∠A＝90°；
【应用】
解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下：
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，
∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，
∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A；
故答案为：∠Q＝90°﹣∠A．
4．综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　∠D＝90°﹣∠A　；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ．若∠A＝80°，则∠F的度数是 　12.5°　．
解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠D＝90°+∠A；
（2）①∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A，理由如下：
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A+2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣∠A，
故答案为：∠D＝90°﹣∠A；
②∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A，理由如下：
∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，
∴∠A＝2∠D，
∴∠D＝∠A；
（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，
∵∠A＝80°，
∴∠D＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠CBE+∠BCE＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，
∴∠E＝180°﹣155°＝25°．
由（2）②知：∠F＝∠E，
∴∠F＝∠E＝12.5°，
故答案为：12.5°．
5．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
6．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝　135　°；
（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；
（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．
解：（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；
故答案为：135；
（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），
即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；
（3）∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，
∴∠ABC＝∠OBA，∠ABD＝∠NBA，
∠ABC+∠ABD＝∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD＝（∠OBA+∠NBA）＝90°，
即∠CBD＝90°，
同理：∠CAD＝90°，
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ACB+∠ADB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
由（1）知：∠ACB＝90°+n°，
∴∠ADB＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，∠ADB＝90°﹣n°；
（4）∠E的度数不变，∠E＝40°；理由如下：
∵∠NBA＝∠AOB+∠OAB，
∴∠OAB＝∠NBA﹣∠AOB，
∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠CBA＝∠NBA，
∠CBA＝∠E+∠BAE，即∠NBA＝∠E+∠OAB，
∠NBA＝∠E+（∠NBA﹣80°），
∠NBA＝∠E+∠NBA﹣40°，
∴∠E＝40°．
7．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．
解：（1）∵∠A＝70°，∠B＝44°，
∴∠ACB＝66°，
①当CD是“邻AC三分线”时，∠ACD＝∠ACB＝22°，
∠BDC＝∠ACD+∠A＝22°+70°＝92°；
②当CD是“邻BC三分线”时，∠ACD＝∠ACB＝44°，
∠BDC＝∠ACD+∠A＝44°+70°＝114°；
综上所述，∠BDC的度数92°或114°；
（2）∵BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵∠A＝63°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝117°，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝39°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝141°．
8．（概念认识）
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（问题解决）
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数．
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数．
解：（1）当BD是“邻AB三分线”时，∠ABD＝∠ABC＝15°，
则∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，
当BD′是“邻BC三分线”时，∠ABD′＝∠ABC＝30°，
则∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，
综上所述，∠BDC的度数为95°或110°；
（2）在△BPC中，∠BPC＝140°，
则∠PBC+∠PCB＝180°﹣140°＝40°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠ABC+∠ACB＝3（∠PBC+∠PCB）＝120°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°．
9．如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．
（1）∠ACB＝　135°　；
（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求证：CF∥OB．
（1）解：∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CAB＝∠BAO，∠CBA＝∠ABO，
∴∠CAB+∠CBA＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°；
（2）解：∠ADB的大小不发生变化，
∵∠OBE是△AOB的外角，
∴∠OBE＝∠OAB+∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBE﹣∠OAB＝90°，
∵BD平分∠OBE，
∴∠EBD＝∠OBE，
∵∠EBD是△ADB的外角，
∴∠EBD＝∠BAG+∠ADB，
∴∠ADB＝∠EBD﹣∠BAG＝∠OBE﹣∠OAB＝45°；
（3）证明：∵∠ACB＝135°，∠ACB+∠BCG＝180°，
∴∠BCG＝180°﹣∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
∵∠AGO是△BCG的外角，
∴∠AGO＝∠BCG+∠CBG＝45°+∠CBG，
∵∠AGO﹣∠BCF＝45°，
∴45°+∠CBG﹣∠BCF＝45°，
∴∠CBG＝∠BCF，
∴CF∥OB．
10．数学概念
百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．
如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD就是凹四边形．
性质初探
（1）在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
深入研究
（2）如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠B、∠D的角平分线相交于点E．
①求证：∠A+∠BCD＝180°；
②随着∠A的变化，∠BED的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索∠BED与∠A的数量关系；如果没有变化，请求出∠BED的度数．
（1）证明：如图①，延长DC交AB于点E，
∵∠BEC是△AED的一个外角，
∴∠A+∠D＝∠BEC，
同理，∠B+∠BEC＝∠BCD，
∴BCD＝∠A+∠B+∠D．
（2）①证明：如图②，延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G，
由题意可知，∠AFC＝∠AGC＝90°，
∵在四边形AFCG中，∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG＝360°，
∴∠A+∠FCG＝180°，
∵∠FCG＝∠BCD，
∴∠A+∠BCD＝180°；
②解：由（1）可知，在凹四边形ABED中，
∠A+∠ABE+∠ADE＝∠BED①，
同理，在凹四边形EBCD中，
∠BED+∠EBC+∠EDC＝∠BCD②，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
同理，∠ADE＝∠EDC，
①﹣②得∠A+∠BCD＝2∠BED，
由（2）①可知，在凹四边形ABCD中，∠A+∠BCD＝180°，
∴2∠BED＝180°，
∴∠BED＝90°．
11．已知，点A、B分别在∠MON的两边OM、ON上，点C是射线OP上的一点，连接AC、BC，，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）；AF平分∠MAC，BE平分∠NBC．
（1）如图1，若x＝y＝75°，
①求的度数；
②判断AF、BE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当点C在射线OP上运动时，若直线AF、BE相交于点G，请用含有x、y的代数式表示∠AGB（直接写结果）．
解：（1）①∵∠MAC＝∠AOC+∠ACO，∠NBC＝∠BCO+∠BOC，
＝∠AOC+∠BOC＝75°，＝∠ACO+∠BCO＝75°，
∴∠MAC+∠NBC＝∠AOC+∠ACO+∠BCO+∠BOC＝150°；
②如图1中，连接AB．
∵AF平分∠MAC，BE平分∠NBC．
∴∠FAC＝∠MAC，∠EBC＝∠NBC，
∵∠MAC+∠NBC＝150°，
∴∠FAC+∠EBC＝75°，
∵∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝105°，
∴∠FAB+∠NBA＝∠FAC+∠CAB+∠CBA+∠CBE＝180°，
∴AF∥BE．
（2）由题意可以假设∠MAF＝∠FAC＝α，∠NBE＝∠CBE＝β．
如图2﹣1，则有∠MON＝∠AGB+GAO+∠GBO，
∵∠MAF＝∠FAC＝α，∠NBE＝∠CBE＝β，2α+2β＝∠MON+∠ACB＝x+y，
∴α+β＝x+y，
∴∠AGB＝∠MON﹣（GAO+∠GBO）＝x﹣（x+y）＝x﹣y．
如图2﹣2中，
∵∠AGB＝360°﹣∠MON﹣∠OAG﹣∠OBG，
∴∠AGB＝360°﹣x﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣x，
∵∠ACB＝∠AGB+∠CAG+∠CBG，
∴y＝α+β+∠AGB，
∴∠AGB＝y﹣∠AGB﹣x，
∴∠AGB＝y﹣x．
如图2﹣3中，
∵∠AGB＝360°﹣y﹣α﹣β，∠AGB＝360°﹣x﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β），
两式相加可得2∠AGB＝360°﹣x﹣y，
∴∠BGD＝180°﹣x﹣y，
综上所述，∠AGD＝x﹣y或y﹣x或180°﹣x﹣y．
12．已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠BAC＝∠BAD，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）
（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠DAE＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE＝∠C，
∴AD∥BC；
（2）证明：如图2，设CE与BD相交于点G，∠BGA＝∠BDA+DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠BGA+∠C＝90°，
∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，
∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，
△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
答：∠BAD的度数是99°．
13．如图，已知△ABC中，AD是△ABC外角∠EAC的平分线且交BC的延长线于点D，比较∠ACB与∠B的大小，并说出理由．
解：∠ACB＞∠B，
证明：∵∠ACB＞∠1，∠1＝∠2，
∴∠ACB＞∠2，又∠2＞∠B，
∴∠ACB＞∠B．
14．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B＝30°，∠DAE＝55°，求∠ACD的度数．
解：∵∠DAE＝55°，AD平分∠CAE，
∴∠CAE＝110°，
∵∠CAE是△ABC的外角，∠B＝30°，
∴∠ACB＝110°﹣30°＝80°，
∴∠ACD＝180°﹣80°＝100°．
15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P．
（1）若∠ACD＝150°，∠BAC＝80°，求∠BPC的度数；
（2）若∠BPC＝α，求∠PAC；（用含α的式子表示）
（3）探索∠ABC与∠APC的等量关系．
解：（1）∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∵∠PCD是△BCP的外角，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠BAC＝40°；
（2）如图，过P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，
∴PN＝PM＝PF，
∴AP平分∠CAF，
由（1）可得，∠BPC＝∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BPC＝2α，
∴∠CAF＝180°﹣2α，
∴∠CAP＝∠CAF＝90°﹣α；
（3）如图，∵CP平分∠ACD，∠PNC＝∠PMC＝90°，
∴∠NPC＝∠MPC，
同理可得，∠FPA＝∠MPA，
∴∠FPN＝2∠APC，
又∵四边形BNPF中，∠ABC+∠FPN＝360°﹣2×90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°．
16．已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
证明：∵∠1是△ABC的一个外角，
∴∠1＞∠3，
∵∠3是△DEC的一个外角，
∴∠3＞∠2，
∴∠1＞∠2．
17．如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的平分线，已知∠B＝20°，∠C＝50°．
（1）求∠EAD的度数；
（2）你发现∠EAD与∠B，∠C之间有何关系？
（3）若将“题中的条件∠B＝20°”改为“∠ABC＝100°”，如图②，其他条件不变，则∠EAD与∠ABC，∠C之间又有何关系？请说明理由；
（4）若将“题目中的条件∠B＝20°，∠C＝50°”改为“∠EAD＝35°，∠BAC＝50°”，其它条件不变，求∠ABC，∠C的度数．
解：（1）∵∠B＝20°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝110°．
又∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝55°．
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝90°﹣∠C＝40°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝15°．
（2）由图知，∠DAE＝∠BAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD
＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
＝90°﹣∠B﹣∠C﹣90°+∠C
＝（∠C﹣∠B）．
（3）∠EAD＝（∠ABC﹣∠C）．
理由如下：由三角形内角和知∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠C）．
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC＝90°＝∠DAB+∠ABD．
又∵∠ABD＝180°﹣∠ABC，
∴∠DAB＝90°﹣（180°﹣∠ABC）＝∠ABC﹣90°，
∴∠EAD＝∠DAB+∠BAE＝∠ABC﹣90°+（180°﹣∠ABC﹣∠C）＝（∠ABC﹣∠C）．
（4）由（1）（2）（3）可知：
①当∠ABC＜∠C时，
解得
②当∠ABC＞∠C时，解得
综上所述，∠C＝100°，∠ABC＝30°；或∠C＝30°，∠ABC＝100°．
18．如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　③　（只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．
故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：
如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．
∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
19．探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
解：∵∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D．
∴∠AFG+∠AGF＝∠C+∠E+∠B+∠D．
∵∠A+∠AFG+∠AGF＝　180　°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180　°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝　36　°．
拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和．
应用：如图③．小明将图②中的点A落在BE上，点C落在BD上，若∠B＝∠D＝36°，则∠CAD+∠ACE+∠E＝　108　°．
解：探究：∵∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D．
∴∠AFG+∠AGF＝∠C+∠E+∠B+∠D．
∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°；
拓展：∵∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D．
∴∠AFG+∠AGF＝∠C+∠E+∠B+∠D．
∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
应用：∠CAD+∠ACE+∠E＝180°﹣∠EAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝108°．
20．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
21．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B＝60°，则∠E＝　30°　；
②如图2，若∠B＝90°，则∠E＝　45°　；
（2）如图3，若∠B＝α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
解：（1）①∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝30°；
②∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝90°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝45°；
（2）∠DAC﹣∠ACB＝∠B＝α，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB，
∴∠E＝∠FAC﹣∠ACE＝∠B＝α；
（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，
∴∠G＝∠HAC﹣∠ACG＝∠FAC﹣∠ACE＝（∠FAC﹣∠ACE）＝×∠B＝α．

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