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韦达定理联立及弦长问题
联立与韦达定理
韦达定理是建立参数关系的重要纽带，对于绝大多数圆锥曲线问题，联立都是必不可少的．而在解析几何大题中，椭圆占比最大，还有部分抛物线，至于双曲线，不管在高考还是其他考试中，基本以小题为主，少有大题．由于抛物线形式较为简单，联立计算也更加轻松，优化计算的技巧在直线假设部分已有说明，不再赘述．对于直线与曲线的联立和韦达定理，我们还是以椭圆为主．
那么一般的椭圆和直线联立后是什么情形呢？强烈建议熟记以下内容，这将大大提升圆锥曲线解题速度以及降低计算失误！
先看正设直线的情形：
联立，消得： ①
判别式 ② 韦达定理 ③
此外 ④ ⑤
【注】
①此式为一般直线与焦点在x轴．上的椭圆联立后的方程，需要熟记，对于焦点在y轴上的，只需把对应的看作即可
②判别式是一个易忽略的点，这里必须注意，凡是需要用到韦达定理的，联立后一定要写到判别式!但判别式的使用需要依题而议，一般有两种情况：一是已知直线过椭圆内部的点，那么此时直线与椭圆一定有两个交点，联立后直接写“由题，△＞0”即可；二是直线不过椭圆内部的点，那么若与椭圆要有两个交点，则需令判别式为正，此外在一些范围最值问题中，往往也会通过判别式建立k和m的关系，记住判别式的形式后，书面表达“令△＞0，得1即可，因此判别式的形式也需要熟记；
③韦达定理其实无需特意去记，由通式，结合联立后的方程即可得出；
④在一些题型中，难免会出现含有纵坐标的表达，此时便需要通过直线代换，因此建议记忆．记忆方式也不难，分母和韦达定理一样(其实所有形式分母都是)，对于对照可知，只是分子将换成了(分母的一部分)；而对于在椭圆中，y是和b对应的，因此对照可知，分子中括号外的换成了，括号内的换成了(分母中的另一部分)．
⑤两根之差的绝对值相信大家还是不陌生，是弦长表达的老伙计了，由于判别式已经记住，因此根差记住形式即可．
再看反设直线的情形：
联立，消x得：，
判别式，韦达定理，
此外，
上述内容看似繁多，要记忆的内容实则不多，重点是三个：联立后的方程，判别式，根差．由x推y的形式建议最好也能记住，其使用场景也颇多．而对于反设直线消x的情形，不难发现，只是把a和b的位置互换，k换成t而已，类比之也很好记忆．其他形式感兴趣的可自行推导记忆．
而对于直线和双曲线联立的情况，即，和椭圆基本也无差异，看作，
也即将椭圆中的换作即可，但要注意，此时判别式，欲使△＞0，则！
这里还需要再说说直线和双曲线的位置判断．设直线和双曲线联立后的方程为，当A＝0时，则直线与渐近线平行或垂直，至多一个交点；
当A≠0时，则考虑判别式，当A＞0，则有两个交点；当△＝0时，有且仅有一个交点；
当△＜0，则没有交点．此外若要与双曲线的某一支有两个交点，或和左右两支各有一个交点，则再借助韦达定理加以限定．
弦长问题
前面说到根差，不得不说就是弦长了，弦长公式源于两点距离公式：
两点距离公式任何时候都可以使用，而若知道A、B两点所在直线的斜率，只需再知道它们横坐标或纵坐标差值即可求两点距离．对于这两种情形，在后续的题型中都将出现，应懂得灵活应用．当A、B两点都在曲线上时，通常称为弦长公式，根据前面的根差形式，弦长即可表达为：
若是反设直线，则：
特别地，在抛物线中，若直线AB过焦点F，根据抛物线定义，有因此抛物线中过焦点的直线与抛物线相交所得的弦长
焦点在y轴上的情况同理．
此外在圆中，弦长一般用垂径定理加勾股定理求，若圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，则
弦长的应用在圆锥曲线中颇多，除了常见的直接和弦长相关的问题外，面积问题等也是弦长频
繁出没的地方．
下面先说椭圆和抛物线中的弦长问题，看具体应用：
例题1
已知抛物线的焦点为F，椭圆，，过点F的直线l与交于A，B两点，与相交于C，D两点，且与同向，若，求直线l的斜率
分析
根据题意，作出如下示意图：
因为点A，B，C，D均为直线与曲线交点，变化主体是线，故采用设点、设线结合．因此设．而直线过焦点F(0，1)，且斜率一定存在，也可以水平，反设直线则需要讨论，因此优先考虑正设直线．当然，直线的最终形式还是要看核心条件的翻译．乍一看，若直接用坐标表示将变成，由于联立后的韦达定理为一组，为一组，若直接坐标翻译，处理起来相当麻烦，结合图象不难发现，即为抛物线中的弦长，即为椭圆中的弦长，这样，转化为的弦长形式翻译就轻松不少．
核心条件的翻译确认后，再看直线假设，这里应该选择正设，即设l：y＝kx＋1，此时只引入一个参数k，根据核心条件的关系，即可解出k的值，得到目标信息．
接下来分别表示出弦长和：
对于抛物线中的弦长，联立，由于正设直线，这里消y更优，即得，
显然△＞0，因此，又直线过焦点，所以弦长可表示为再用直线代换即可，|AB|当然也可以消x，但形式要稍微复杂，此时联立可得，同样△＞0，则因此可得弦长；
对于椭圆中的弦长，可用弦长公式但要注意，由于此时焦点在y上，因此这时公式中的看作是8，看作是9，可得，书写时，我们写如上步骤即可．
再由，即，整理即得解得(舍)，或
此外，因为点A，B，C，D共线，且，那么出现两根之差，显然可以配凑为(再联立，代入韦达求解亦可．
解析
由题，直线l过点F(0，1)且斜率存在，故设其方程为y＝kx＋1，
设点
因为与同向，且|AC|＝|BD|，故
联立整理得易知△＞0，故
所以
联立，整理得，，易知△＞0，故，所以，
由|AB|＝|CD|，即，
整理即得，解得(舍)，或，
直线l的斜率为．
前面讲解的是椭圆和抛物线的弦长，上例也体现了转化思想的应用．下面我们再讲一例和双曲 线相关的联立问题．虽然近些年全国卷的圆锥曲线大题中，双曲线基本没有出现，但这并不代表不 会考查，随着新课改新高考的推进，势必会出现变动，扎实基础将显得更为关键．
【例题2】
已知椭圆，双曲线，若直线与C1交于，两点，与交于，两点，且，求的取值范围．
分析
此处核心条件为，设点后坐标化即可．同样地，目标信息是椭圆中的弦长，联立后使用弦长公式即可得出．
下面考虑引参，此处变化主体为直线，由于直线要与双曲线和椭圆均有两个交点，那么斜率必然要存在，同时联立后要满足两个判别式均为正，这就是我们所说的隐性条件和关系．既然直线斜率存在，而目标信息使用x或y并无差异，那么就正设直线，设点先联立消y得，这里就要注意隐性条件了，由于l与双曲线有两个交点，则也即①，
则由韦达定理得．而核心条件，显然用直线代换，当然，如果记形式，可直接代入，故代入韦达定理，则有，整理即可得②．
再联立，消y得，同样地，要令判别式△＞0，
即，结合①②式，则有，解得．而此时
由弦长公式得．此式是关于齐次式，因此对分母换元处理，令，则，因为，因此，所以
，而，则关于的二次函数此时单调递减，因此.
解析
由题，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，
设点，
联立，消y得，，
令△>0，即，且，则，
故，
代入整理得，即
联立消y得，
令△>0，即，
所以
又解得
令，则，
所以
因此的取值范围为.
【练习1】
已知椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，试用m表示k．
解析
设联立 ，得＝0，
令△>0，即4+8k －>0，
所以＝＝．
因为|AB|＝4|，所以＝＝4，
所以＝4，
整理得＝显然≠4，所以．
又k>0,故．
【练习2】
已知椭圆的左右焦点分别为，直线与椭圆交于A、B两点，与以为直径的圆交于C、D两点，且满足直线的方程．
解析
由题意可得以为直径的圆的方程为＝1．
∴圆心到直线l的距离d＝
由d＜1，可得．①
∴|CD|＝＝＝．
设．
联立 ，
化为＝0，令△＞0,即m ＜4
可得＝＝．
∴|AB|＝．
由得＝1，
解得m＝满足①式．
因此直线l的方程为y＝.
1 / 10专题04 韦达定理联立及弦长问题
联立与韦达定理
韦达定理是建立参数关系的重要纽带，对于绝大多数圆锥曲线问题，联立都是必不可少的．而在解析几何大题中，椭圆占比最大，还有部分抛物线，至于双曲线，不管在高考还是其他考试中，基本以小题为主，少有大题．由于抛物线形式较为简单，联立计算也更加轻松，优化计算的技巧在直线假设部分已有说明，不再赘述．对于直线与曲线的联立和韦达定理，我们还是以椭圆为主．
那么一般的椭圆和直线联立后是什么情形呢？强烈建议熟记以下内容，这将大大提升圆锥曲线解题速度以及降低计算失误！
先看正设直线的情形：
联立，消得： ①
判别式 ② 韦达定理 ③
此外 ④ ⑤
【注】
①此式为一般直线与焦点在x轴．上的椭圆联立后的方程，需要熟记，对于焦点在y轴上的，只需把对应的看作即可
②判别式是一个易忽略的点，这里必须注意，凡是需要用到韦达定理的，联立后一定要写到判别式!但判别式的使用需要依题而议，一般有两种情况：一是已知直线过椭圆内部的点，那么此时直线与椭圆一定有两个交点，联立后直接写“由题，△＞0”即可；二是直线不过椭圆内部的点，那么若与椭圆要有两个交点，则需令判别式为正，此外在一些范围最值问题中，往往也会通过判别式建立k和m的关系，记住判别式的形式后，书面表达“令△＞0，得1即可，因此判别式的形式也需要熟记；
③韦达定理其实无需特意去记，由通式，结合联立后的方程即可得出；
④在一些题型中，难免会出现含有纵坐标的表达，此时便需要通过直线代换，因此建议记忆．记忆方式也不难，分母和韦达定理一样(其实所有形式分母都是)，对于对照可知，只是分子将换成了(分母的一部分)；而对于在椭圆中，y是和b对应的，因此对照可知，分子中括号外的换成了，括号内的换成了(分母中的另一部分)．
⑤两根之差的绝对值相信大家还是不陌生，是弦长表达的老伙计了，由于判别式已经记住，因此根差记住形式即可．
再看反设直线的情形：
联立，消x得：，
判别式，韦达定理，
此外，
上述内容看似繁多，要记忆的内容实则不多，重点是三个：联立后的方程，判别式，根差．由x推y的形式建议最好也能记住，其使用场景也颇多．而对于反设直线消x的情形，不难发现，只是把a和b的位置互换，k换成t而已，类比之也很好记忆．其他形式感兴趣的可自行推导记忆．
而对于直线和双曲线联立的情况，即，和椭圆基本也无差异，看作，
也即将椭圆中的换作即可，但要注意，此时判别式，欲使△＞0，则！
这里还需要再说说直线和双曲线的位置判断．设直线和双曲线联立后的方程为，当A＝0时，则直线与渐近线平行或垂直，至多一个交点；
当A≠0时，则考虑判别式，当A＞0，则有两个交点；当△＝0时，有且仅有一个交点；当△＜0，则没有交点．此外若要与双曲线的某一支有两个交点，或和左右两支各有一个交点，则在借助韦达定理加以限定．
弦长问题
前面说到根差，不得不说就是弦长了，弦长公式源于两点距离公式：
两点距离公式任何时候都可以使用，而若知道A、B两点所在直线的斜率，只需再知道它们横坐标或纵坐标差值即可求两点距离．对于这两种情形，在后续的题型中都将出现，应懂得灵活应用．当A、B两点都在曲线上时，通常称为弦长公式，根据前面的根差形式，弦长即可表达为：
若是反设直线，则：
特别地，在抛物线中，若直线AB过焦点F，根据抛物线定义，有因此抛物线中过焦点的直线与抛物线相交所得的弦长
焦点在y轴上的情况同理．
此外在圆中，弦长一般用垂径定理加勾股定理求，若圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，则
弦长的应用在圆锥曲线中颇多，除了常见的直接和弦长相关的问题外，面积问题等也是弦长频
繁出没的地方．
下面先说椭圆和抛物线中的弦长问题，看具体应用：
例题1 【2015湖南文科20】
已知抛物线的焦点为F，椭圆，，过点F的直线l与交于A，B两点，与相交于C，D两点，且与同向，若，求直线l的斜率
前面讲解的是椭圆和抛物线的弦长，上例也体现了转化思想的应用．下面我们再讲一例和双曲 线相关的联立问题．虽然近些年全国卷的圆锥曲线大题中，双曲线基本没有出现，但这并不代表不 会考查，随着新课改新高考的推进，势必会出现变动，扎实基础将显得更为关键．
【例题2】
已知椭圆，双曲线，若直线与C1交于，两点，与交于，两点，且，求的取值范围．
【练习1】
已知椭圆，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，试用m表示k．
【练习2】
已知椭圆的左右焦点分别为，直线与椭圆交于A、B两点，与以为直径的圆交于C、D两点，且满足直线的方程．
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