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《等式性质与不等式性质》能力探究
分析计算能力利用基本不等式求最值
利用基本不等式,通过恒等变形及配凑,使“和”“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.
（1）拆—裂项拆项
应用范围:分子的次数不低于分母次数的分式.
变形目的:分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件.
（2）并—分组并项
应用范围:复杂的分式
变形目的:分组后各组可以单独应用基本不等式；或者分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值.
（3）配—配式配系数
应用范围:能够挖掘出“积”或“和”为定值的代数式。
变形目的:使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值
典例1-1[数学运算](2019-衡水二中月考)已知,则取得最大值时的值为( )
A.
B.
C.
D.
点拨:分析题意,因为与和不为定值,变形为与之和再求.
解析:
∵.
∴.
当且仅当,即时取等号.
答案:
典例1-2:[数学运算](2018-湖北麻城一中期中)已知,则的最小值是( )
A.
B.4
C.
D.5
点拨:分析题意可知,此题已知是和式,所求也是和式,需要利用常数变换来求最值.本题中利用条件,进行变换,再进行计算.
解析:
由已知可得,当且仅当时取等号,即的最小值是.
答案:
说明论证能力利用基本不等式证明不等式的基本方法
1.证明不等式的基本方法
(1)观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的目的.
(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.
2.基本不等式的逆用和变形
逆用:.逆用:.
(2)变形有:等,同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式中等号成立的条件等.
典例2[数学运算、逻辑推理](2019-重庆巴蜀中学高二检测)
(1)已知,求证:.
(2)已知,且,求证:.
点拨:利用基本不等式证明不等式,要从已知条件出发,直接或经过配凑或常值代换后,使用基本不等式说明论证并注意基本不等式成立的条件.
解析:
(1)∵,当且仅当时等号成立.
(2)∵,且,
∴
,当且仅当时取等号.
简单问题解决能力利用基本不等式解决实际应用题
利用基本不等式解决实际应用题,其实质就是求实际生活生产中的最优问题（求最值问题）,其关键是正确建立数学模型.
1.利用基本不等式解决实际问题的思路
2.利用基本不等式解决实际问题的解题步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型.
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.通过相关的关系建立关系式.尽量向模型上靠拢.
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论.
(4)还原:将数学问题还原为实际问题.
典例3[数学建模](1)某工厂要围建一个面积为的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长),其他三边需要砌新的墙壁,若使砌墙所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为( )(单位:)
A.32,16
B.30,15
C.40,20
D.36,18
(2)某工厂要建造一个长方体形状的无盖箱子,其容积为,高为,如果箱底每的造价为15元,箱璧每的造价为12元,那么箱子的最低总造价为( )
A.900元
B.840元
C.818元
D.816元
点拨:解决此类实际应用题,需分析并正确理解题意,由题设条件建立函数关系,向模型,上靠拢,利用基本不等式求解最值.
解析:
(1)要使材料最省,则要求新砌的墙璧的总长最短,设堆料场宽为,则长为,因此新墙总长),(当且仅当,即宽为,长为时等号成立).
(2)设箱底一边的长为,箱子的总造价为元.根据题意得箱底面积为,箱底另一边的长为,则(当且仅当时,等号成立).
答案:(1)(2)
综合问题解决能力基本不等式常见的最值模型
若,其中为常数,则,当且仅当时等号成立.而求函数在区间上的最值时,(1)若,则时,取得最小值;(2)若,则当时,取得最小值.这可由函数的图象得到.另外:形如的最值求解都可以转化为的最值模型.
典例4[逻辑推理](2019-山西长治二中月考)(1)若正实数满足,则的最小值是_______.
(2)若实数满足,则的最大值是___________.
点拨:利用基本不等式求最小值,根据题意,利用好常见的最值模型可令问题解决起来事半功倍.
解析:
(1)∵,设,即,则,当且仅当且,即时等号成立,故的最小值为18.
(2)注意到消元有难度,而目标式为,且由条件式可以构造的平方,于是,所以,所以,当且仅当且,即时等号成立.
答案:(1)8(2)
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