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《基本不等式》知识探究
探究点1基本不等式
1.重要不等式
对于任意实数,有,当且仅当时,等号成立.
,当且仅当时,等号成立.
【要点辨析】
重要不等式的实质是实数平方的非负性,不等式中的取值既可以是某个具体的数,也可以是一个代数式.
2.基本不等式
如果,那么,当且仅当时,等号成立.
其中,叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数.
因此,基本不等式也可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
拓展:从数列的角度来看,如果把看作正数的
等差中项,看作正数的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
【要点辨析】
(1)基本不等式成立的条件是.
①若,如,会出现的错误结论;
②若中有一个小于0,如,则无意义;
③若或等于0,虽然该不等式也成立,但在基本不等式中一般不研究这种情况.
(2)基本不等式的常见变形式:,.
(3)当时,我们分别用代替重要不等式中的,可得,变形可得.
学科素养:解决与基本不等式相关的结论成立问题，提升逻辑推理核心素养.
典例1.[推测解释能力](1)(2019-陕西咸阳二中月考)已知,且,则下列结论恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019-湖南邵阳二中月考)设,则下列不等式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
(3)“”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
点拔:根据基本不等式和重要不等式的相关性质进行推测判断是解决本题的关键.
解析:
(1)对于,当时,,所以错误;对于,只能说明同号,当都小于0时,B,C错误;对于,因为,所以,所以,即成立.
(2),又因为,所以.
(3),充分性不成立,由,必要性成立.
答案：(1)(2)(3)
探究点2最值定理
设均为正数.
(1)若为定值,则当时,积取最大值;
(2)若为定值,则当时,和取最小值.
【要点辨析】
1.最值定理的证明过程
(1)当时,有,当且仅当时等号成立.
(2)当时,有,故,当且仅当时等号成立.
2.最值定理简记:和定积最大,积定和最小.
3.利用基本不等式求最值的条件
(1)一正:各项必须为正.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等:必须验证取等号时条件是否具备.
4.应用基本不等式求最值的关键
依定值去探求最值,探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.
学科素养:利用最值定理求最大(小)值，提升数学运算核心素养
典例2.[分析计算能力](1)(2018-西安一中月考)下列各函数中,最小值为2的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019-浙江宁波中学检测)已知,且,则的最小值为( )
A.
B.
C.2
D.4
点拨:应用基本不等式求最值的关键是根据具体问题进行合理的拆、凑、配等变换.
解析:
(1)中没有的条件;中,等号不能成立;C中同样不能取等号;中时取最小值2.
(2)∵,且,
当且仅当,即时取等号.∴.
答案：(1)(2)
探究点3基本不等式的推广与应用
若,则.当且仅当时等号成立.其中叫做的调和平均数,叫做的平方平均数,即调和平均值几何平均值≤算术平均值平方平均值(注意“=”成立的条件).
的证明过程如下：
【要点辨析】
基本不等式的应用:
学科素养:利用基本不等式的推广式解决问题，提升数学运算、逻辑推理核心素养.
典例3.[简单问题解决能力](1)对于,下列不等式中不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019-深圳高级中学检测)若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是_____________.(写出所有正确命题的序号).
①;②;③;④.
点拨:从已知条件出发,根据基本不等式及推广得出的结论是解决此类问题的关键.
解析:
(1)当时,因为,所以,当且仅当时等号成立,故不正确;显然均正确.
(2)因为,所以,所以①恒成立;,所以②不恒成立;,所以③恒成立;当时,,所以④不恒成立.
答案:(1)A(2)①③
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