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2022-2023学年北京市海淀区初二（上）期中考试
数学试卷
2022．10．26
说明：本试卷共三道大题，28道小题，共6页：满分100分，考试时间90分钟：
请在密封线内填写个人信息，请将答案全部作答在答题卡相应的位置上。
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．2022年6月28日，北京市教委发布《义务教育体育与监考过程性考核管理办法》，以进一步加强中小学生日常体育锻炼和身体素质。在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ）。
A B C D
2．七边形的内角和为（ ）。
A．360° B．720° C．900° D．1080°
3．关于的方程解为负数，则实数a的取值范围是（ ）。
A． B． C． D．
4．如图，小健家的仿古家具有一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块。将该三角形记为，若通过电话给玻璃店老板提供相关数据，则提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）。
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，为的角平分线，若中边上的高为5，则长为（ ）。
A．15 B．12
C．10 D．8
6．我国民间流传这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两多7两，每人半斤少半斤。试问各位善算者，多少人分多少银（注：古代1斤=16两）。若设有人，分两银，则可列方程组为（ ）。
A． B． C． D．
7．如图，，且在边上，，则的度数（ ）
A．70° B．71°
C．72° D．76°
8．如图，在中，根据规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
9．在平面直角坐标系中，已知点，，若恰为等腰直角三角形，则点坐标不可能是（ ）。
A． B． C． D．
10．如图，对于，若存在点分别在上，使得，，，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，错误的是（ ）。
A．若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形
B．等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形
C．直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形
D．等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形
二、填空题：（每空2分，共20分）
11．如图，已知为的外角，，，那么的度数为_____________．
12．若是是二元一次方程的一个解，则的值为_____________．
13．在平面直角坐标系中，若点关于某条直线对称后得点，则这条直线为_____________．
14，小康同学用一根铁丝围三角形，若围成的三角形有两边长分别为3和4，则该三角形的第三边长应满足_____________．
15，同时满足不等式和不等式的的整数值为_________．
16．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度。此方案依据的数学定理或基本事实是_________．
17．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________·
18．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，之间的数量关系是________．
19．已知是等腰中一腰上的高，°，则顶角度数为________．
20．如图，等边和等边中，、、共线，且，和相交于点，下列四个结论中：
①；
②平分；
③；
④．
所有正确结论的序号是：_________．
三、解答题：（第21题8分，第22、24题每小题5分，第23、25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分，共50分）
21．解下列方程组：（1） （2）
22．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
23．如图，点在一条直线上，，，．求证：．
24．作图题：如图，已知直线与点，求作过点的直线，使．
要求：（1）尺规作图，保留作图痕迹，下结论，不写作法：
（2）根据你的作法用一句话简单说明为什么．
25．如图，在中，，为上一个动点。
（1）已知，求证：．
下面是两位同学分享的思路：
小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．
小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形。
请你选择一种思路，完成证明
（2）已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）。
26．列方程（组）或不等式（组）解实际问题：
学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划总费用在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？最多可以买多少本？
27．等腰中，，，点为角平分线上一点，点、分别在边、上，，且点在的内部，在上截.
（1）如图1，若点与点重合，且．
①求证：；
②判断和的位置关系，并证明；
（2）若点与线段两个端点均不重合，且，请直接写出的大小（用含的式子表示）。
28．在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．
已知顶点坐标为，，．
（1）如图1，若点。
①由村料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为．
请写出点关于的“对应点”：__________；
点关于的“对应点”：__________；
②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围：
（2）若点关于的“对应点”为点，且以、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________．
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B A B B D A C
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．40°； 12．1； 13．轴； 14．；
15．5和6；
16．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等；
17．15； 18．（填：“相等”也得分）
19．40°，140°，100°（有错误答案不得分，此外答对1个和2个均得1分，全对得满）
20．①②③④（答对1个、2个、3个均得1分，全对得满）
三、解答题（本题共50分，第21题8分，第22、24题每小题5分，第23、25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）
21．（1）
解：将②代入①得：
解得： ·····················2分
将代入②：·····················3分
∴原方程组的解为 ·····················4分
（2）
解：由①+②得：
解得：····················· 2分
将代入②：
解得： 3分
∴原方程组的解为····················· 4分
22．解： ····················· 1分
·····················2分
····················· 3分
解集在数轴上表示如下：
·····················5分
23．证明：∵，∴即．····················· 1分
∵，∴．····················· 2分
在和中
∴（ASA）····················· 5分
∴．····················· 6分
24．：（1）如下图：
·····················3分
（2）说明：线段的中垂线垂直于该线段所在直线；····················· 5分
备注：画法不唯一，说明也不唯一，只要符合题意即得满分。
如：（2）说明也可为：等腰顶角的平分线与底边上高线重合。
25．（1）证明：倍长到，连接．
∵，
∴为线段的中垂线，
∴ ····················· 1分
∴．
在中，．
又，∴．
在中，
∴．·····················3分
∴．
∴
∴．
即． ·····················4分
（2）．····················· 6分
26．解：设14元一本的小说买了本，则8元一本的小说买了本． ·····················1分
由题意， ·····················3分
解得：． ····················· 5分
∵为整数，∴最小值为19，最大值为35．
答：14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买35本． ····················· 6分
27．（1）①证明：在四边形中，，，，
∴．·····················1分
∴，，
又∵为的平分线，
∴． ·····················2分
②．3分
证明：由①已证：，，
∴．
在和中
∴（SAS）
∴． ····················· 4分
∴．
又∵，为的平分线，
∴．
∴．
∴．
又∵在中，，
∴．
∴．····················· 5分
（2）． ····················· 7分
28．（1）①点关于的“对应点”：
点关于M的“对应点”： ·····················2分
②解：点关于的“对应点”为（，
点关于的“对应点”为．····················· 3分
线段与的边没有公共点有三种情况：
第一种情况：如图①，线段在上方，
此时只需，在轴上方，
即，解得；
第二种情况：如图②，线段在内部，此时只需在轴下方，
在点C上方
即，解得；
第三种情况：如图③，线段在点下方，
此时只需在点下方，
即，解得；
综上所述，的取值范围是，，． ····················· 5分
（2）所有满足条件的点M的坐标： ·····················7分
备注：有错误答案不得分，此外，答对1个、2个、3个均得1分，答对4个得满。

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