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微专题 用导数研究函数的单调性
考向分析
借助几何直观探索函数的单调性与导数的关系，并利用导数研究函数的单调性是高考考查的热点问题，除压轴题外，小题也有所考查，难度中等偏上，重点考查数学运算及其逻辑推理等核心素养.
课前练习
1．函数的单调递减区间为________．
2．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是________．
典型例题
例1．函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点 B．是的极大值点
C．在区间上单调递增 D．在区间上不存在极小值
例2．（1）已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则实数a的取值范围是________.
（2）若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________.
（3）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围为________.
例3．（多选）设函数，则（ ）
A． B．的最大值为
C．在单调递增 D．在单调递减
例4．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例5．（1）已知函数，求函数的单调递增区间.
（2）已知函数．讨论函数的单调性.微专题 用导数研究函数的单调性
一、单项选择题
1. 已知，为的导函数，则的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
2．“函数在上是增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
5. 已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线是的图象，曲线是的图象
B．曲线是的图象，曲线是的图象
C．不等式组的解集为
D．不等式组的解集为
6. 定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．在上是“弱减函数”
D．若在上是“弱减函数”，则
7. 已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．
三、填空题
8. 写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；②；③当时，.
9. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为____________.
10. 已知，则的从大到小的顺序为____________.
四、解答题
11.已知函数，讨论函数的单调性；
12. 设函数，讨论的单调性;
13. 已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，，求的取值范围.微专题 用导数研究函数的单调性
考向分析
借助几何直观探索函数的单调性与导数的关系，并利用导数研究函数的单调性是高考考查的热点问题，除压轴题外，小题也有所考查，难度中等偏上，重点考查数学运算及其逻辑推理等核心素养.
课前练习
1．函数的单调递减区间为________．
【答案】
【解析】因为，所以，
由解得：，
所以函数的单调递减区间为．
2．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立.
令，则，
所以在上单调递增，则，所以.
典型例题
例1．函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点 B．是的极大值点
C．在区间上单调递增 D．在区间上不存在极小值
【答案】B
【解析】当时，，而，故；
当时，，而，故；
当时，，而，故；
所以上递减；上递增，
则、分别是的极小值点、极大值点.
故A、C、D错误，B正确.
故选：B
例2．（1）已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则实数a的取值范围是________.
（2）若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________.
（3）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围为________.
【解析】（1） ，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即或在[1,2]上恒成立，
即或在[1,2]上恒成立.
令，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以或,
即 或 ，又a>0，所以或a ≥1,
故答案为：
（2）函数h(x)＝ln x－ax2－2x，则 ，
因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以h′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，有解，
令，而当x∈[1,4]时，令 ，即为 ，
此时(此时x＝1)，所以a>－1，
又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
故答案为：
（3）因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
例3．（多选）设函数，则（ ）
A． B．的最大值为
C．在单调递增 D．在单调递减
【答案】AD
【解析】的定义域为，且，
，故A正确．
又，令，
则，
其中，
故即，故，
当时，有，此时即，
故，故B错误．
，
当时，，故在为减函数，故D正确．
当时，，故，
因为为增函数且，而在为增函数，
所以在上为增函数，
故在有唯一解，
故当时，即，故在为减函数，故C不正确．
故选：AD
例4．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可得，
所以令，则，
令，则，
所以在上单调递减，，所以恒成立，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，所以，即.
故选：A.
例5．（1）已知函数，求函数的单调递增区间.
（2）已知函数．讨论函数的单调性.
【解析】（1）因为定义域为，
所以，
因为，
当，即当时，由，解得或，
当时，恒成立，
当，即当时，由，解得或，
综上，当时，的递增区间是，，
当时，的递增区间是，
当时，的递增区间是，；
（2）由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．微专题 用导数研究函数的单调性
一、单项选择题
1. 已知，为的导函数，则的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项A、D，令，，当，，在递减，
故选B．
2．“函数在上是增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
因为函数是增函数，所以恒成立，
即恒成立，所以
反之，函数的导数不一定大于0.
故“函数在上是增函数”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
的定义域为，
因为，所以在上单调递减，
所以不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
4. 已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设，则
所以
设,令,得
易知函数在单调递减
所以,即,即，
,所以对
,所以B错
,所以C错
,所以错
故选：A
二、多项选择题
5. 已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线是的图象，曲线是的图象
B．曲线是的图象，曲线是的图象
C．不等式组的解集为
D．不等式组的解集为
【答案】BC
【分析】对于AB，利用导函数的正负决定原函数的单调性分析判断即可，对于CD，根据图象求解即可
【详解】对于AB，若是的图象，则当时，，则在上递减，与曲线在上不单调相矛盾，所以是的图象，是的图象，所以A错误，B正确，
对于CD，由，得，解得，所以不等式组的解集为，所以C正确，D错误，
故选：BC
6. 定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．在上是“弱减函数”
D．若在上是“弱减函数”，则
【答案】BCD
【分析】利用基本初等函数的单调性可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系、并结合题中定义可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为函数在上不是增函数，A不满足条件；
对于B选项，当时，，函数在上为减函数，
令，则，函数在上为增函数，B满足条件；
对于C选项，当时，，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
故当时，，则，
则函数在上为减函数，
又因为函数在上为增函数，C满足条件；
对于D选项，因为在上是“弱减函数”且该函数的定义域为，
由，解得，所以，，
又因为函数在上为增函数，D满足条件.
故选：BCD.
7. 已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】AD
【解析】
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，∴，
∴．
又在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即恒成立．
令，当时，，故，
∴，解得或，
所以a的值可以为，，
故选：AD.
三、填空题
8. 写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义城上是增函数，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
9. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
因为，所以，
因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，
即，令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以.
10. 已知，则的从大到小的顺序为____________.
【答案】.
【分析】由在区间上为单调递增函数，可得到，设，利用导数求得函数单调递增，可得，进而得到，即可求解.
【详解】由函数在区间上为单调递增函数，
因为，所以，即，
设，可得，
令，解得，
当时，，单调递增，
可得，即，即，
两边取的指数，可得，即，
所以.
四、解答题
11.已知函数，讨论函数的单调性；
【解析】∵，
（Ⅰ）当时，在上单调递增，
（Ⅱ）当时，令，则，
令，则，
∴在上单调递增， 上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
12. 设函数，讨论的单调性;
【解析】由题，
①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
②当时，令则，：
当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；
当，即时，，单调递增；
当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
13. 已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，，求的取值范围.
【解析】（1）若，，
则，
令，则，
令，解得：，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
则，且当时等号成立，即，且当时等号成立，
故在上单调递增.
（2），
由（1）得：当，即，
若，，在上单调递减，
由于，所以时，，不符合题意；
若，令，则，
由于，所以，所以在上单调递减，即在上单调递减，
由于，
若，，
当时，在上单调递减，所以，所以在上单调递增，
，符合题意；
若，，而，可得：；
令，则，，
设，则，
当时，，因此在上单调递增，所以，
即，因此，使得，
因此当时，，函数在上单调递减，所以，不符合题意；
综上所述，的取值范围为.

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