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微专题4 极值与最值
一、单项选择题
1．关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
2．函数的极值点的个数是（ ）
A． B． C． D．无数个
3．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4.函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
5．已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1
6．已知．则下列说法正确的有（ ）
A．函数有唯一零点
B．函数的单调递减区间为
C．函数有极大值
D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是
7．已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．为的极小值点 D．仅有两个零点
三、填空题
8．若的两个极值点为，则_______．
9．已知，函数在上的最小值为1，则__________．
10．若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题
11.函数，求函数在上的极值；
12．已知函数.若，求函数的极值；
13.已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(2)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．微专题4 极值与最值
考向分析
1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值；
3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；
4.会利用导数解决某些简单的实际问题.
二、课前练习
1．函数的极值点为（ ）
A．0，1， B． C． D．，
【解析】由已知，得的定义域为，且，
令，得舍去．
当时，；当时，，
∴当时，取得极小值，故的极小值点为，无极大值点，故选：B．
2．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值
【详解】
解：由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
因为，
所以函数的最大值为，
故选：B
典型例题
例1.（恒成立问题）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，利用导数求函数在定义域上的最值即可；
（2）由原不等式恒成立分离参数后得，构造函数，利用导数求最小值即可.
(1)
由已知得，
令，得.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
故.
(2)
，即，
因为，所以在上恒成立.
令，则，
令，得或（舍去）.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
故，所以，即实数的取值范围为.
例2．（求函数的最值（含参））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到函数单调性；
（2）分别在、和三种情况下，得到在上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.
【详解】
（1）由题意得：定义域为，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令得：，
列表如下：
＋ －
递增 极大值 递减
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）知：
①当，即时，在上单调递减，则；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
③当，即时，在上单调递增，则；
综上所述：.
例3（求函数的极值与极值点）设.
(1)求在上的极值；
(2)若对，，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，极大值为 (2)
【解析】
【分析】
（1）直接求导计算即可．
（2）将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．
(1)
由，
得的单调减区间是，，
同理，的单调增区间是.
故的极小值为，极大值为.
(2)
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
方法一：（含参讨论）
设，
则，，解得.
，，.
①当时，，
故，当时，，递增；
当时，，递减；
此时，，在上单调递增，故，符合条件.
②当时，同①，当时，递增；当时，递减；
∵，，
∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，.
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵，，∴，符合条件.
综上，实数的取值范围是.
方法二：（参变分离）
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
∵，∴在上恒成立
，.
设，，则，.
设，，
则，.
由，，得在，上单调递增；
由，，得在，上单调递减.
故时；
时.
从而，，，
又时，，故，，
，单调递减，，.
于是，.综上，实数的取值范围是.
例4．（根据极值、极值点求参数）已知函数.
若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
例5.（函数性质）已知函数．
证明：存在唯一极大值点，且．
【分析】讨论的正负，判断f(x)的单调性，从而可证明f(x)有唯一极大值点，并可求出的范围，结合和即可求出的范围．
证明：
，
令，得或，
设，∵在上单调递增，
且，，
∴存在唯一，使得，即，
故时，x-2<0，，，f(x)单调递增，
时，x-2<0，，，f(x)单调递减，
时，x-2>0，，，f(x)单调递增，
∴是函数的唯一极大值点；
∵，∴；
又，即，
∴，
令，，
则，故在上单调递增，
故，
综上所述：．
【点睛】
本题关键是对因式分解，构造函数，求出g(x)的零点，由此判断f(x)单调性和极值点，利用将和转化为幂函数，从而可对范围进行研究．
微专题4 极值与最值
一、单项选择题
1．关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
【解析】对于A选项，取，则，，当时，，
故不是函数的极值点，故A不正确；
极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；
一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；
若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.
故选：D.
2．函数的极值点的个数是（ ）
A． B． C． D．无数个
【解析】由题，，故无极值点，故选：A
3．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得，根据在区间上存在最小值，得到且，，设，根据且，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由函数，可得，
且在区间上存在最小值，
即在区间上存在，
使得且，，
设，即满足，且，
可得，解得，
即实数的取值范围是.
故选：D.
4.函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题
5．已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求定义域，再求导，求出单调区间和极值，最值情况，判断BCD，A可以证明出函数值恒正，A错误.
【详解】
定义域为R，，
令得：或1，
当时，，当时，，
如下表：
0 1
- 0 + 0 -
递减 极小值1 递增 极大值 递减
从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，
BC正确，
由于恒成立，所以函数无零点，A错误，
当时，，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
6．已知．则下列说法正确的有（ ）
A．函数有唯一零点
B．函数的单调递减区间为
C．函数有极大值
D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据零点的定义判断A，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断其余选项.
【详解】
由得：，即，故函数有唯一零点
由题可知：
设，，则，
由得：；由得；；
故在上单调递增﹐在上单调递减，
作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下：
观察图象可得函数的单调递减区间为，，B错，
函数在时有极大值，C对，
方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对，
故选：ACD.
7．已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．为的极小值点 D．仅有两个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由函数的图象关于直线对称，得到，解得，可判定A正确；
求得，得到在上单调递增，可判定B正确；根据函数的单调性，得到为的极小值点，可判定C正确；结合函数的单调性，求得，可判定D不正确．
【详解】
由题意，函数的定义域为，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
所以，解得，故选项A正确；
由，得，所以，当时，，
此时，所以，所以在上单调递增，故选项B正确；
又由的图象关于直线对称，所以在上单调递减，
所以为的极小值点，故选项C正确；
由在上单调递增，且的图象关于直线对称，
所以，所以没有零点，故选项D不正确．
故选：ABC.
三、填空题
8．若的两个极值点为，则_______．
【解析】由可得，
令解得或，令解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极值点为和，则.故答案为：0
9．已知，函数在上的最小值为1，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
求函数的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，确定函数的最小值，令其等于1，即可求得答案.
【详解】
由题意得，
当，即时，，在上递增，
故，解得；
当，即时，当 时，，递减，
当 时，，递增，
故，解得，不符合，舍去，
综上，.
故答案为：1
10．若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，可知当时，函数在上单调递增，无最小值；当时，有两个不等实根，由此可知函数的单调性，再根据函数图象趋势，结合极小值情况，进而确定最小值，由此即可求出结果.
【详解】
因为函数，所以，
当时，， ，又，
所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；
当时，则有两个不等实根，
设两个不等实根，
则，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
所以是函数的极小值点，
又时，，所以，
所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，
即，所以，
即，解得，所以.
故答案为：.
四、解答题
11.函数．
(1)求函数在上的极值；
(2)证明：有两个零点．
【答案】(1)极大值，；极小值，；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，进而可得；
（2）当时，利用导数可得函数的最小值，进而可得函数有两个零点，当，时，利用导数可得，即得.
(1)
∵，
∴，，
由，可得，或，
∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，
∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；
(2)
∵，
∴，
∴，
当时，单调递增，即单调递增，
又，
故存在，，
所以单调递减，单调递增，
∴时，函数，，，
故时，有两个零点，
当时，，
对于函数，则，又，
∴，，即，此时函数没有零点，
当时，，
由上可知，故当时，函数没有零点，
综上，函数有两个零点．
【点睛】
利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.
12．已知函数.若，求函数的极值；
【答案】(1)极小值，无极大值
【解析】
【分析】
（1）先求出导函数，令导函数为零，然后列表判断函数的极值即可，
解：当时，，则，
令，得，
，和的变化情况如下表
3
0
递减 极小值 递增
所以当时，取得极小值，无极大值
13.已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(2)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
【答案】 (1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；（2）要使取到最小值，则，分析可得结合零点代换处理．
解： (1)
由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，,
设，故，
故在上为增函数，故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：．
(2)
由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．
当时，，故，所以的最小值为e；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，因，所以代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为．微专题4 极值与最值
考向分析
1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值；
3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；
4.会利用导数解决某些简单的实际问题.
二、课前练习
1．函数的极值点为（ ）
A．0，1， B． C． D．，
2．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
典型例题
例1 已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
例2 已知函数．
（1）讨论的单调性； （2）当时，求在区间上的最大值．
例3 设.
(1)求在上的极值；
(2)若对，，都有成立，求实数的取值范围.
例4已知函数，若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
例5 已知函数．
证明：存在唯一极大值点，且．

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