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微专题 复数
考向分析
复数这一章的基本知识包括：复数的概念、复数的运算及运算性质、复数的几何意义，从近几年高考考查的情况来看，加大了对复数的运算性质的考查力度，复习时需要特别注意.
课前练习
1.（2022全国甲卷）若，则（ ）
A. B. C. D.
2.（2021新高考2卷）在复平面内,复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
典型例题
例1. （1）（2018浙江卷）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
（2）（2017全国卷Ⅲ）设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
（3）（2017全国卷Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． B． C． D．
（4）（2017天津卷）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为__________．
（5） 已知1＋2i是方程 (m，n∈R)的一个根，则m＋n＝___________．
例2．（1）（ ）
A． B． C． D．
（2）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
（3）已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．1012 D．1011
（4）设复数（是虚数单位），则= ．
例3. 设是虚数，是实数，且.
（1）求的值以及的实部的取值范围；
（2）若，求证为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求的最小值.
例4. 已知方程，．
（1）设，为虚数单位，且是方程的一个根，求p；
（2）设，是方程的两个根，若，求p的值．
例5.（1）已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为__________.
（2）（多选）已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
（3）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为___________．
例6. 已知关于的方程有实数根，其中为虚数单位．
（1）求复数在复平面内的对应点的轨迹方程；
（2）若复数满足，求．微专题 复数
一、单项选择题
1. 设复数，若z的实部与虚部相等，则实数m的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
2．已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3. 为虚数单位，已知复数，则复数在复平面中对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．25 B．5 C． D．41
二、多项选择题
5. 若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. z的虚部为－1 B. |z|＝
C. z2为纯虚数 D. z的共轭复数为－1－i
6. 设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A. 若|z1－z2|＝0，则1＝2 B. 若z1＝2，则1＝z2
C. 若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D. 若|z1|＝|z2|，则z＝z
7. （2021八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题
8. 为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数________．
9. 复数满足：(其中，为虚数单位)，，则________；复数的共轭复数在复平面上对应的点在第________象限.
10. 若复数满足①；②，则在复平面内所对应的图形的面积为_____.
四、解答题
11. 已知复数（其中是虚数单位，）.
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）求的取值范围.
12. 计算：
（1）；
（2）.
13. （1）已知，解关于z的方程；
（2）已知是关于x的方程在复数集内的一个根，求实数a，b的值.微专题 复数
考向分析
复数这一章的基本知识包括：复数的概念、复数的运算及运算性质、复数的几何意义，从近几年高考考查的情况来看，加大了对复数的运算性质的考查力度，复习时需要特别注意.
课前练习
1.（2022全国甲卷）若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2.（2021新高考2卷）在复平面内,复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
典型例题
例1. （1）（2018浙江卷）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
（2）（2017全国卷Ⅲ）设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
（3）（2017全国卷Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． B． C． D．
（4）（2017天津卷）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为__________．
（5） 已知1＋2i是方程 (m，n∈R)的一个根，则m＋n＝___________．
【答案】（1）B；（2）C；（3）C；（4）-2；（5）.
【解析】（1）因为＝1＋i，所以其共轭复数为1－i.故选B．
（2）z＝＝＝1＋i，所以|z|＝.故选C．
（3） (1＋i)2＝2i,2i是纯虚数．故选C．
（4）因为＝＝[2a－1－(2＋a)i]为实数，所以-(2＋a)＝0，所以a＝－2.
（5）将代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，
即，即，
由复数相等的充要条件，得，解得，故．
例2．（1）（ ）
A． B． C． D．
（2）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
（3）已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．1012 D．1011
（4）设复数（是虚数单位），则= ．
【答案】（1）A；（2）D；（3）C；（4）-2.
【解析】（1）.
（2）由题可知：，所以.
（3）因为，
所以，
相减得，
所以，虚部为．
（4）
．
例3. 设是虚数，是实数，且.
（1）求的值以及的实部的取值范围；
（2）若，求证为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求的最小值.
【解析】（1）由是虚数，设，则
，
因为为实数，所以且，所以
所以，此时，
因为，所以，得；
（2）因为，且，
所以，
因为，，所以为纯虚数；
（3），
由，得，
故当且仅当，即时，有最小值1.
例4. 已知方程，．
（1）设，为虚数单位，且是方程的一个根，求p；
（2）设，是方程的两个根，若，求p的值．
【解析】（1）是方程的一个根，所以，
所以又，，
则，解得，故的值为；
（2）因为、是方程的两个根，所以，，
又，所以，所以，解得：或．
例5.（1）已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为__________.
（2）（多选）已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
（3）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为___________．
【答案】（1）；（2）ABC；（3）3.
【解析】（1）∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知＝.
（2）A：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，因此本选项结论正确；
B：因为，所以，因此本选项结论正确；
C，D：设，在复平面内对应的点为，设
因为，所以点到点的距离为1，因此点是在以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点距离，
因此，，
所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，
故选：ABC.
（3），
，
又，，
即当时，取得最大值为3，故答案为3.
例6. 已知关于的方程有实数根，其中为虚数单位．
（1）求复数在复平面内的对应点的轨迹方程；
（2）若复数满足，求．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
（1）设关于的方程的实数根为m,
所以，即
所以，消去m得：，
所以复数在复平面内的对应点的轨迹方程为：.
（2）因为复数满足，
所以，即，
又，解得：或.
当时，，
当时，.微专题 复数
一、单项选择题
1. 设复数，若z的实部与虚部相等，则实数m的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】B
2．已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.
3. 为虚数单位，已知复数，则复数在复平面中对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，根据的运算周期性，所以，
所以该复数对应的点为
4. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．25 B．5 C． D．41
【答案】C
二、多项选择题
5. 若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. z的虚部为－1 B. |z|＝
C. z2为纯虚数 D. z的共轭复数为－1－i
【答案】　ABC
6. 设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A. 若|z1－z2|＝0，则1＝2 B. 若z1＝2，则1＝z2
C. 若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D. 若|z1|＝|z2|，则z＝z
【答案】　ABC
7. （2021八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BC
三、填空题
8. 为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数________．
【答案】
9. 复数满足：(其中，为虚数单位)，，则________；复数的共轭复数在复平面上对应的点在第________象限.
【答案】2；四
10. 若复数满足①；②，则在复平面内所对应的图形的面积为______.
【答案】
四、解答题
11. 已知复数（其中是虚数单位，）.
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）求的取值范围.
【解析】（1），
若复数是纯虚数，则，所以.
（2）由（1）得，，
，
因为是开口向上的抛物线，有最小值；所以.
12. 计算：
（1）；
（2）.
【解析】（1）；
（2）-511.
13. （1）已知，解关于z的方程；
（2）已知是关于x的方程在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
【解析】（1）设，则，即
∴，解得，或∴或；
（2）由题知方程在复数集内另一根为，故，即.

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