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微专题 平面向量
考向分析
平面向量这一章的基本知识包括：平面向量的概念、平面向量的线性运算和数量积、平面向量的应用.高考中，主要突出向量的工具性作用，因此，复习时要注意平面向量应用，比如求长度、求角度、证共线、证垂直等.
课前练习
1. 下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足，且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2. 已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
典型例题
例1. （1）在△中，为边上的中线，为的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
（2）设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_________.
（3）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
例2. （1）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
（2）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________．
（3）设向量不平行，向量与平行，则实数= _________．
（4） 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3． （1）在中，、分别为边、上的动点，若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2017江苏卷）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．
例4. （1）（2021新高考2卷）已知向量__________．
（2）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
（3）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
（4）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例5. （1）已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．
（2）设向量，，，，若平分与的夹角，则的值为__________．
（3）设向量，，若(∈R)，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
例6. （多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
例7. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.微专题 平面向量
一、单项选择题
1. 在中，点P为中点，点D在上，且，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵点P为中点，∴,∵，,
∴,∴=,故选：B.
2．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】连接AO，由O为BC中点可得，，
、、三点共线，，.故选：C.
3. 在△中，，O为△的外心，则等于（ ）
A． B．6 C．12 D．
【答案】D
【解析】如图，过点作于，则，应选D.
4. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，
因为且，则，
所以，
设，则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B.
二、多项选择题
5. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得
【答案】BD
【解析】对于A，若，则有，即，A错误；
对于B，，在上的投影为，又因为，所以，
，B正确；
对于C，若与共线，设，所以有，解得，
因为，，，所以，C错误；
对于D，若成立，则与同向，所以，即有，，解得，故D正确.
故选：BD.
6. 下列说法中错误的为（ ）
A．己知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
【答案】AC
【解析】对于A，，，且与的夹角为锐角，
，且（时，与的夹角为），所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，，又，
则，，
故，
而向量的夹角范围为，所以和的夹角为，故D正确．
故选：AC．
7. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ABC
【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；
对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；
对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
故选：ABC
三、填空题
8. 有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量.
其中正确的命题的个数为______．
【答案】
【解析】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
则正确的命题个数为个.
故答案为：.
9. 已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
【答案】
【解析】解法一：因，是互相垂直的单位向量，所以，
所以 ，
，
，
，解得：．
解法二：建立坐标系，设，所以，所以
， ，
所以由数量积的定义得，解得：．
10. 如图，在梯形中，，，，，，则___________.
【答案】
【解析】作，，垂足分别为，
设，，则，
在和中，由勾股定理得：，解得：；
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
，，.故答案为：.
四、解答题
11. 如图所示，在中，与相交于点.
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值.
【解析】（1）由，可得.
（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即.
12. 如图所示，、分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，点坐标为，平行四边形的面积为．
（1）求的最大值；
（2）若，求．
【解析】（1）由已知，得、、，
因为四边形是平行四边形，所以，所以．
又平行四边形的面积为，
所以．
又，则，所以当时，的最大值为．
（2）由题意，知，，因为，得，
又，结合得，，，，所以．
13. 是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
（1）求的值；
（2）若是线段的等分点，，其中，，，求的值；
（3）为边上一动点，当取最小值时，求的长．
【解析】（1）设，，因为是边长为1的正三角形，
所以，，
因为为线段的四等分点，
所以，同理可得，
所以
．
（2）根据题意可知是线段的2022等分点，
仿照（1）推导过程可知，，
所以
所以
，
则.
（3）设，则，
所以
整理得．
当时，取最小值，此时，
则，所以的长为．微专题 平面向量
一、单项选择题
1. 在中，点P为中点，点D在上，且，则=（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3. 在△中，，O为△的外心，则等于（ ）
A． B．6 C．12 D．
4. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
5. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得
6. 下列说法中错误的为（ ）
A．己知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
7. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
三、填空题
8. 有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量.
其中正确的命题的个数为______．
9. 已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
10. 如图，在梯形中，，，，，，则___________.
四、解答题
11. 如图所示，在中，与相交于点.
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值.
12. 如图所示，、分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，点坐标为，平行四边形的面积为．
（1）求的最大值；
（2）若，求．
13. 是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
（1）求的值；
（2）若是线段的等分点，，其中，，，求的值；
（3）为边上一动点，当取最小值时，求的长．微专题 平面向量
考向分析
平面向量这一章的基本知识包括：平面向量的概念、平面向量的线性运算和数量积、平面向量的应用.高考中，主要突出向量的工具性作用，因此，复习时要注意平面向量应用，比如求长度、求角度、证共线、证垂直等.
课前练习
1. 下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足，且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
向量有方向，不能比较大小，故③错误；
向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误；
当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误；
综上，正确的个数是0，故选：A．
2. 已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，．
，
∴．
故选：D．
典型例题
例1. （1）在△中，为边上的中线，为的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
（2）设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_________.
（3）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A；（2）；（3）A.
【解析】（1）根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
（2）如图所示：，+3()，
即有=﹣，
因为，所以λ=﹣，μ=，则=﹣3，
故答案为：﹣3.
（3）为边中点，∴，
∵，∴，即.
例2. （1）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
（2）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________．
（3）设向量不平行，向量与平行，则实数= _________．
（4） 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A；（2）0；（3）；（4）B.
【解析】（1）因为，且，
所以，所以，故选：A；
（2）由，又A，B，D三点共线，
所以且，则，可得，故答案为：0；
（3）因向量与平行，所以，所以，
解得；
（4）如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
例3． （1）在中，、分别为边、上的动点，若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2017江苏卷）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．
【答案】（1）D；（2）3.
【解析】（1）在中，，则，，
所以
所以，解得，故．故选：D
（2）由可得，，根据向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以．
例4. （1）（2021新高考2卷）已知向量__________．
（2）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
（3）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
（4）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）；（2）A；（3）A；（4）C.
【解析】（1）方法一：因为，所以，
即
所以，所以，所以；
方法二：因为，所以，所以，即
所以，所以，
同理，所以，即，所以，
所以，
同理，所以，即，所以，
所以，所以；
（2）在方向上投影向量为，，
.故选：A；
（3）在△ABC中，AD⊥AB，，，
则.故选：A．
（4）如图，以点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，
，，，
，
设，则，其中，，，
，
时，取得最小值．故选：C.
例5. （1）已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．
（2）设向量，，，，若平分与的夹角，则的值为__________．
（3）设向量，，若(∈R)，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】（1）B；（2）2；（3）C.
【解析】（1）由可得，即，
所以．故选B．
（2）解法一：，所以；，
因平分与的夹角，所以，即，所以，所以，解得；
解法二：因平分与的夹角，所以，
又因，所以，解得；
（3），所以
，故选：C.
例6. 如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【答案】ABD
【解析】对于A，是的重心，则,
代入就得到,正确；
对于B，设点P到边的距离分别为，
由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确；
对于，即，
与比较得到，，错误；
对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R，
所以，
代入奔驰定理即可得到，正确，
故选：ABD.
例7. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.

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